Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 27070 / 25025
↖ ↑ ↗
← S 68.403224°
E117.399902°		 ← 449.63 m → S 68.403224°
E117.410888°		 →
↑
449.60 m
↓
↑
449.60 m
↓
S 68.407267°
E117.399902°		 ← 449.55 m →
202 135 m²		 S 68.407267°
E117.410888°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27070 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25025 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826126098632812 y=0.763717651367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826126098632812 × 215)
    floor (0.826126098632812 × 32768)
    floor (27070.5)     		tx = 27070
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763717651367188 × 215)
    floor (0.763717651367188 × 32768)
    floor (25025.5)     		ty = 25025
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 27070 / 25025 ti = "15/27070/25025"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/27070/25025.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27070 ÷ 215
    27070 ÷ 32768     		x = 0.82611083984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25025 ÷ 215
    25025 ÷ 32768     		y = 0.763702392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82611083984375 × 2 - 1) × π
    0.6522216796875 × 3.1415926535     		Λ = 2.04901484
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763702392578125 × 2 - 1) × π
    -0.52740478515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.65689099846762
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04901484} λ = 2.04901484}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65689099846762))-π/2
    2×atan(0.190731042366365)-π/2
    2×0.188467423065826-π/2
    0.376934846131653-1.57079632675     		φ = -1.19386148
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04901484} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.399902°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19386148 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.403224°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27070 KachelY 25025 2.04901484 -1.19386148 117.399902 -68.403224
    Oben rechts KachelX + 1 27071 KachelY 25025 2.04920658 -1.19386148 117.410888 -68.403224
    Unten links KachelX 27070 KachelY + 1 25026 2.04901484 -1.19393205 117.399902 -68.407267
    Unten rechts KachelX + 1 27071 KachelY + 1 25026 2.04920658 -1.19393205 117.410888 -68.407267
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19386148--1.19393205) × R
    7.0569999999881e-05 × 6371000     		dl = 449.601469999242m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19386148--1.19393205) × R
    7.0569999999881e-05 × 6371000     		dr = 449.601469999242m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04901484-2.04920658) × cos(-1.19386148) × R
    0.000191739999999996 × 0.368072232058011 × 6371000     		do = 449.62803563526m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04901484-2.04920658) × cos(-1.19393205) × R
    0.000191739999999996 × 0.368006615353182 × 6371000     		du = 449.547879873625m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19386148)-sin(-1.19393205))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.368072232058011-0.368006615353182)×R²
    abs(2.04920658-2.04901484)×6.5616704829019e-05×R²
    0.000191739999999996×6.5616704829019e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.5616704829019e-05×40589641000000     		ar = 202135.406784329m²