Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 27069 / 7367
↖ ↑ ↗
← N 79.990487°
W 31.305542°		 ← 106.16 m → N 79.990487°
W 31.300049°		 →
↑
106.14 m
↓
↑
106.14 m
↓
N 79.989533°
W 31.305542°		 ← 106.17 m →
11 269 m²		 N 79.989533°
W 31.300049°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27069 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7367 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413047790527344 y=0.112419128417969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413047790527344 × 216)
    floor (0.413047790527344 × 65536)
    floor (27069.5)     		tx = 27069
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112419128417969 × 216)
    floor (0.112419128417969 × 65536)
    floor (7367.5)     		ty = 7367
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27069 / 7367 ti = "16/27069/7367"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27069/7367.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27069 ÷ 216
    27069 ÷ 65536     		x = 0.413040161132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7367 ÷ 216
    7367 ÷ 65536     		y = 0.112411499023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413040161132812 × 2 - 1) × π
    -0.173919677734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.54638478
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.112411499023438 × 2 - 1) × π
    0.775177001953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.43529037449809
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54638478} λ = -0.54638478}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43529037449809))-π/2
    2×atan(11.4191340573185)-π/2
    2×1.48344684915916-π/2
    2.96689369831832-1.57079632675     		φ = 1.39609737
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54638478} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.305542°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39609737 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.990487°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27069 KachelY 7367 -0.54638478 1.39609737 -31.305542 79.990487
    Oben rechts KachelX + 1 27070 KachelY 7367 -0.54628891 1.39609737 -31.300049 79.990487
    Unten links KachelX 27069 KachelY + 1 7368 -0.54638478 1.39608071 -31.305542 79.989533
    Unten rechts KachelX + 1 27070 KachelY + 1 7368 -0.54628891 1.39608071 -31.300049 79.989533
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39609737-1.39608071) × R
    1.66600000000017e-05 × 6371000     		dl = 106.140860000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39609737-1.39608071) × R
    1.66600000000017e-05 × 6371000     		dr = 106.140860000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54638478--0.54628891) × cos(1.39609737) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.173811684475201 × 6371000     		do = 106.16205116055m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54638478--0.54628891) × cos(1.39608071) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.173828090867693 × 6371000     		du = 106.172071984433m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39609737)-sin(1.39608071))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.173811684475201-0.173828090867693)×R²
    abs(-0.54628891--0.54638478)×1.64063924912305e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.64063924912305e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.64063924912305e-05×40589641000000     		ar = 11268.6632192051m²