Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 27069 / 25409
↖ ↑ ↗
← S 69.903893°
E117.388916°		 ← 419.75 m → S 69.903893°
E117.399902°		 →
↑
419.72 m
↓
↑
419.72 m
↓
S 69.907667°
E117.388916°		 ← 419.67 m →
176 162 m²		 S 69.907667°
E117.399902°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27069 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25409 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826095581054688 y=0.775436401367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826095581054688 × 215)
    floor (0.826095581054688 × 32768)
    floor (27069.5)     		tx = 27069
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775436401367188 × 215)
    floor (0.775436401367188 × 32768)
    floor (25409.5)     		ty = 25409
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 27069 / 25409 ti = "15/27069/25409"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/27069/25409.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27069 ÷ 215
    27069 ÷ 32768     		x = 0.826080322265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25409 ÷ 215
    25409 ÷ 32768     		y = 0.775421142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826080322265625 × 2 - 1) × π
    0.65216064453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.04882309
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775421142578125 × 2 - 1) × π
    -0.55084228515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.73052207628403
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04882309} λ = 2.04882309}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73052207628403))-π/2
    2×atan(0.177191878140343)-π/2
    2×0.175371618538011-π/2
    0.350743237076022-1.57079632675     		φ = -1.22005309
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04882309} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.388916°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22005309 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.903893°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27069 KachelY 25409 2.04882309 -1.22005309 117.388916 -69.903893
    Oben rechts KachelX + 1 27070 KachelY 25409 2.04901484 -1.22005309 117.399902 -69.903893
    Unten links KachelX 27069 KachelY + 1 25410 2.04882309 -1.22011897 117.388916 -69.907667
    Unten rechts KachelX + 1 27070 KachelY + 1 25410 2.04901484 -1.22011897 117.399902 -69.907667
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22005309--1.22011897) × R
    6.58799999999626e-05 × 6371000     		dl = 419.721479999762m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22005309--1.22011897) × R
    6.58799999999626e-05 × 6371000     		dr = 419.721479999762m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04882309-2.04901484) × cos(-1.22005309) × R
    0.000191749999999935 × 0.343595889046952 × 6371000     		do = 419.75022419826m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04882309-2.04901484) × cos(-1.22011897) × R
    0.000191749999999935 × 0.343534019233932 × 6371000     		du = 419.674641606284m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22005309)-sin(-1.22011897))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343595889046952-0.343534019233932)×R²
    abs(2.04901484-2.04882309)×6.18698130201434e-05×R²
    0.000191749999999935×6.18698130201434e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.18698130201434e-05×40589641000000     		ar = 176162.323576257m²