Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27068 / 7369
↖ ↑ ↗
← N 79.988577°
W 31.311035°		 ← 106.19 m → N 79.988577°
W 31.305542°		 →
↑
106.20 m
↓
↑
106.20 m
↓
N 79.987622°
W 31.311035°		 ← 106.20 m →
11 279 m²		 N 79.987622°
W 31.305542°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27068 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7369 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413032531738281 y=0.112449645996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413032531738281 × 216)
    floor (0.413032531738281 × 65536)
    floor (27068.5)     		tx = 27068
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112449645996094 × 216)
    floor (0.112449645996094 × 65536)
    floor (7369.5)     		ty = 7369
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27068 / 7369 ti = "16/27068/7369"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27068/7369.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27068 ÷ 216
    27068 ÷ 65536     		x = 0.41302490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7369 ÷ 216
    7369 ÷ 65536     		y = 0.112442016601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41302490234375 × 2 - 1) × π
    -0.1739501953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.54648066
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.112442016601562 × 2 - 1) × π
    0.775115966796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.43509862689961
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54648066} λ = -0.54648066}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43509862689961))-π/2
    2×atan(11.4169446756974)-π/2
    2×1.48343018359934-π/2
    2.96686036719869-1.57079632675     		φ = 1.39606404
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54648066} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.311035°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39606404 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.988577°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27068 KachelY 7369 -0.54648066 1.39606404 -31.311035 79.988577
    Oben rechts KachelX + 1 27069 KachelY 7369 -0.54638478 1.39606404 -31.305542 79.988577
    Unten links KachelX 27068 KachelY + 1 7370 -0.54648066 1.39604737 -31.311035 79.987622
    Unten rechts KachelX + 1 27069 KachelY + 1 7370 -0.54638478 1.39604737 -31.305542 79.987622
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39606404-1.39604737) × R
    1.66699999999409e-05 × 6371000     		dl = 106.204569999623m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39606404-1.39604737) × R
    1.66699999999409e-05 × 6371000     		dr = 106.204569999623m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54648066--0.54638478) × cos(1.39606404) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.173844507059668 × 6371000     		do = 106.193174427199m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54648066--0.54638478) × cos(1.39604737) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.173860923203334 × 6371000     		du = 106.203202252853m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39606404)-sin(1.39604737))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.173844507059668-0.173860923203334)×R²
    abs(-0.54638478--0.54648066)×1.64161436659038e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.64161436659038e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.64161436659038e-05×40589641000000     		ar = 11278.7329276015m²