Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 27068 / 25012
↖ ↑ ↗
← S 68.350595°
E117.377930°		 ← 450.69 m → S 68.350595°
E117.388916°		 →
↑
450.62 m
↓
↑
450.62 m
↓
S 68.354647°
E117.377930°		 ← 450.61 m →
203 074 m²		 S 68.354647°
E117.388916°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27068 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25012 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826065063476562 y=0.763320922851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826065063476562 × 215)
    floor (0.826065063476562 × 32768)
    floor (27068.5)     		tx = 27068
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763320922851562 × 215)
    floor (0.763320922851562 × 32768)
    floor (25012.5)     		ty = 25012
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 27068 / 25012 ti = "15/27068/25012"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/27068/25012.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27068 ÷ 215
    27068 ÷ 32768     		x = 0.8260498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25012 ÷ 215
    25012 ÷ 32768     		y = 0.7633056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8260498046875 × 2 - 1) × π
    0.652099609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.04863134
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7633056640625 × 2 - 1) × π
    -0.526611328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.65439827968738
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04863134} λ = 2.04863134}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65439827968738))-π/2
    2×atan(0.191207074277999)-π/2
    2×0.188926705322163-π/2
    0.377853410644325-1.57079632675     		φ = -1.19294292
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04863134} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.377930°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19294292 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.350595°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27068 KachelY 25012 2.04863134 -1.19294292 117.377930 -68.350595
    Oben rechts KachelX + 1 27069 KachelY 25012 2.04882309 -1.19294292 117.388916 -68.350595
    Unten links KachelX 27068 KachelY + 1 25013 2.04863134 -1.19301365 117.377930 -68.354647
    Unten rechts KachelX + 1 27069 KachelY + 1 25013 2.04882309 -1.19301365 117.388916 -68.354647
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19294292--1.19301365) × R
    7.07300000000188e-05 × 6371000     		dl = 450.62083000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19294292--1.19301365) × R
    7.07300000000188e-05 × 6371000     		dr = 450.62083000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04863134-2.04882309) × cos(-1.19294292) × R
    0.000191749999999935 × 0.368926151172458 × 6371000     		do = 450.694666623555m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04863134-2.04882309) × cos(-1.19301365) × R
    0.000191749999999935 × 0.368860409635082 × 6371000     		du = 450.614354181142m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19294292)-sin(-1.19301365))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.368926151172458-0.368860409635082)×R²
    abs(2.04882309-2.04863134)×6.5741537375763e-05×R²
    0.000191749999999935×6.5741537375763e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.5741537375763e-05×40589641000000     		ar = 203074.309605545m²