Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27067 / 7400
↖ ↑ ↗
← N 79.958930°
W 31.316528°		 ← 106.49 m → N 79.958930°
W 31.311035°		 →
↑
106.46 m
↓
↑
106.46 m
↓
N 79.957973°
W 31.316528°		 ← 106.50 m →
11 338 m²		 N 79.957973°
W 31.311035°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27067 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7400 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413017272949219 y=0.112922668457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413017272949219 × 216)
    floor (0.413017272949219 × 65536)
    floor (27067.5)     		tx = 27067
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112922668457031 × 216)
    floor (0.112922668457031 × 65536)
    floor (7400.5)     		ty = 7400
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27067 / 7400 ti = "16/27067/7400"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27067/7400.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27067 ÷ 216
    27067 ÷ 65536     		x = 0.413009643554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7400 ÷ 216
    7400 ÷ 65536     		y = 0.1129150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413009643554688 × 2 - 1) × π
    -0.173980712890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.54657653
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1129150390625 × 2 - 1) × π
    0.774169921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.43212653912317
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54657653} λ = -0.54657653}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43212653912317))-π/2
    2×atan(11.3830628887455)-π/2
    2×1.48317146461541-π/2
    2.96634292923082-1.57079632675     		φ = 1.39554660
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54657653} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.316528°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39554660 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.958930°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27067 KachelY 7400 -0.54657653 1.39554660 -31.316528 79.958930
    Oben rechts KachelX + 1 27068 KachelY 7400 -0.54648066 1.39554660 -31.311035 79.958930
    Unten links KachelX 27067 KachelY + 1 7401 -0.54657653 1.39552989 -31.316528 79.957973
    Unten rechts KachelX + 1 27068 KachelY + 1 7401 -0.54648066 1.39552989 -31.311035 79.957973
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39554660-1.39552989) × R
    1.67100000001419e-05 × 6371000     		dl = 106.459410000904m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39554660-1.39552989) × R
    1.67100000001419e-05 × 6371000     		dr = 106.459410000904m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54657653--0.54648066) × cos(1.39554660) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.174354044764456 × 6371000     		do = 106.49331819216m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54657653--0.54648066) × cos(1.39552989) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.174370498793524 × 6371000     		du = 106.503368111882m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39554660)-sin(1.39552989))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.174354044764456-0.174370498793524)×R²
    abs(-0.54648066--0.54657653)×1.64540290675808e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.64540290675808e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.64540290675808e-05×40589641000000     		ar = 11337.7507783293m²