Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 27067 / 7341
↖ ↑ ↗
← N 80.015281°
W 31.316528°		 ← 105.90 m → N 80.015281°
W 31.311035°		 →
↑
105.89 m
↓
↑
105.89 m
↓
N 80.014328°
W 31.316528°		 ← 105.91 m →
11 214 m²		 N 80.014328°
W 31.311035°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27067 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7341 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413017272949219 y=0.112022399902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413017272949219 × 216)
    floor (0.413017272949219 × 65536)
    floor (27067.5)     		tx = 27067
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112022399902344 × 216)
    floor (0.112022399902344 × 65536)
    floor (7341.5)     		ty = 7341
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27067 / 7341 ti = "16/27067/7341"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27067/7341.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27067 ÷ 216
    27067 ÷ 65536     		x = 0.413009643554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7341 ÷ 216
    7341 ÷ 65536     		y = 0.112014770507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413009643554688 × 2 - 1) × π
    -0.173980712890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.54657653
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.112014770507812 × 2 - 1) × π
    0.775970458984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.43778309327834
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54657653} λ = -0.54657653}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43778309327834))-π/2
    2×atan(11.4476342539675)-π/2
    2×1.48366321530163-π/2
    2.96732643060326-1.57079632675     		φ = 1.39653010
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54657653} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.316528°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39653010 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.015281°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27067 KachelY 7341 -0.54657653 1.39653010 -31.316528 80.015281
    Oben rechts KachelX + 1 27068 KachelY 7341 -0.54648066 1.39653010 -31.311035 80.015281
    Unten links KachelX 27067 KachelY + 1 7342 -0.54657653 1.39651348 -31.316528 80.014328
    Unten rechts KachelX + 1 27068 KachelY + 1 7342 -0.54648066 1.39651348 -31.311035 80.014328
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39653010-1.39651348) × R
    1.66200000000227e-05 × 6371000     		dl = 105.886020000145m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39653010-1.39651348) × R
    1.66200000000227e-05 × 6371000     		dr = 105.886020000145m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54657653--0.54648066) × cos(1.39653010) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.173385524837913 × 6371000     		do = 105.901758066026m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54657653--0.54648066) × cos(1.39651348) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.173401893087939 × 6371000     		du = 105.911755592958m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39653010)-sin(1.39651348))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.173385524837913-0.173401893087939)×R²
    abs(-0.54648066--0.54657653)×1.63682500258777e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.63682500258777e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.63682500258777e-05×40589641000000     		ar = 11214.0449718805m²