Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27067 / 5940
↖ ↑ ↗
← N 81.265048°
W 31.316528°		 ← 92.76 m → N 81.265048°
W 31.311035°		 →
↑
92.76 m
↓
↑
92.76 m
↓
N 81.264214°
W 31.316528°		 ← 92.77 m →
8 605 m²		 N 81.264214°
W 31.311035°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27067 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5940 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413017272949219 y=0.0906448364257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413017272949219 × 216)
    floor (0.413017272949219 × 65536)
    floor (27067.5)     		tx = 27067
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0906448364257812 × 216)
    floor (0.0906448364257812 × 65536)
    floor (5940.5)     		ty = 5940
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27067 / 5940 ti = "16/27067/5940"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27067/5940.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27067 ÷ 216
    27067 ÷ 65536     		x = 0.413009643554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5940 ÷ 216
    5940 ÷ 65536     		y = 0.09063720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.413009643554688 × 2 - 1) × π
    -0.173980712890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.54657653
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09063720703125 × 2 - 1) × π
    0.8187255859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.57210228601373
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54657653} λ = -0.54657653}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.57210228601373))-π/2
    2×atan(13.0933214340595)-π/2
    2×1.49456949534795-π/2
    2.9891389906959-1.57079632675     		φ = 1.41834266
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54657653} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.316528°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41834266 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.265048°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27067 KachelY 5940 -0.54657653 1.41834266 -31.316528 81.265048
    Oben rechts KachelX + 1 27068 KachelY 5940 -0.54648066 1.41834266 -31.311035 81.265048
    Unten links KachelX 27067 KachelY + 1 5941 -0.54657653 1.41832810 -31.316528 81.264214
    Unten rechts KachelX + 1 27068 KachelY + 1 5941 -0.54648066 1.41832810 -31.311035 81.264214
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41834266-1.41832810) × R
    1.45599999998858e-05 × 6371000     		dl = 92.7617599992723m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41834266-1.41832810) × R
    1.45599999998858e-05 × 6371000     		dr = 92.7617599992723m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54657653--0.54648066) × cos(1.41834266) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.151863794956416 × 6371000     		do = 92.7565486651646m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54657653--0.54648066) × cos(1.41832810) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.151878186065146 × 6371000     		du = 92.7653385783737m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41834266)-sin(1.41832810))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151863794956416-0.151878186065146)×R²
    abs(-0.54648066--0.54657653)×1.43911087301385e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.43911087301385e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.43911087301385e-05×40589641000000     		ar = 8604.66838993481m²