Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 27067 / 25425
↖ ↑ ↗
← S 69.964204°
E117.366943°		 ← 418.54 m → S 69.964204°
E117.377930°		 →
↑
418.51 m
↓
↑
418.51 m
↓
S 69.967967°
E117.366943°		 ← 418.47 m →
175 149 m²		 S 69.967967°
E117.377930°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27067 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25425 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826034545898438 y=0.775924682617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826034545898438 × 215)
    floor (0.826034545898438 × 32768)
    floor (27067.5)     		tx = 27067
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775924682617188 × 215)
    floor (0.775924682617188 × 32768)
    floor (25425.5)     		ty = 25425
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 27067 / 25425 ti = "15/27067/25425"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/27067/25425.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27067 ÷ 215
    27067 ÷ 32768     		x = 0.826019287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25425 ÷ 215
    25425 ÷ 32768     		y = 0.775909423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826019287109375 × 2 - 1) × π
    0.65203857421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.04843959
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775909423828125 × 2 - 1) × π
    -0.55181884765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.73359003785971
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04843959} λ = 2.04843959}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73359003785971))-π/2
    2×atan(0.176649093313923)-π/2
    2×0.174845307703772-π/2
    0.349690615407544-1.57079632675     		φ = -1.22110571
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04843959} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.366943°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22110571 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.964204°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27067 KachelY 25425 2.04843959 -1.22110571 117.366943 -69.964204
    Oben rechts KachelX + 1 27068 KachelY 25425 2.04863134 -1.22110571 117.377930 -69.964204
    Unten links KachelX 27067 KachelY + 1 25426 2.04843959 -1.22117140 117.366943 -69.967967
    Unten rechts KachelX + 1 27068 KachelY + 1 25426 2.04863134 -1.22117140 117.377930 -69.967967
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22110571--1.22117140) × R
    6.56900000000071e-05 × 6371000     		dl = 418.510990000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22110571--1.22117140) × R
    6.56900000000071e-05 × 6371000     		dr = 418.510990000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04843959-2.04863134) × cos(-1.22110571) × R
    0.000191749999999935 × 0.34260716490866 × 6371000     		do = 418.5423599835m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04843959-2.04863134) × cos(-1.22117140) × R
    0.000191749999999935 × 0.342545449810102 × 6371000     		du = 418.466966396784m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22110571)-sin(-1.22117140))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.34260716490866-0.342545449810102)×R²
    abs(2.04863134-2.04843959)×6.17150985577353e-05×R²
    0.000191749999999935×6.17150985577353e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.17150985577353e-05×40589641000000     		ar = 175148.800974669m²