Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 27067 / 25034
↖ ↑ ↗
← S 68.439589°
E117.366943°		 ← 448.93 m → S 68.439589°
E117.377930°		 →
↑
448.90 m
↓
↑
448.90 m
↓
S 68.443626°
E117.366943°		 ← 448.85 m →
201 507 m²		 S 68.443626°
E117.377930°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27067 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25034 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.826034545898438 y=0.763992309570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.826034545898438 × 215)
    floor (0.826034545898438 × 32768)
    floor (27067.5)     		tx = 27067
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763992309570312 × 215)
    floor (0.763992309570312 × 32768)
    floor (25034.5)     		ty = 25034
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 27067 / 25034 ti = "15/27067/25034"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/27067/25034.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27067 ÷ 215
    27067 ÷ 32768     		x = 0.826019287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25034 ÷ 215
    25034 ÷ 32768     		y = 0.76397705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826019287109375 × 2 - 1) × π
    0.65203857421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.04843959
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76397705078125 × 2 - 1) × π
    -0.5279541015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.65861672685394
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04843959} λ = 2.04843959}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65861672685394))-π/2
    2×atan(0.190402176240822)-π/2
    2×0.188150081405868-π/2
    0.376300162811737-1.57079632675     		φ = -1.19449616
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04843959} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.366943°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19449616 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.439589°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27067 KachelY 25034 2.04843959 -1.19449616 117.366943 -68.439589
    Oben rechts KachelX + 1 27068 KachelY 25034 2.04863134 -1.19449616 117.377930 -68.439589
    Unten links KachelX 27067 KachelY + 1 25035 2.04843959 -1.19456662 117.366943 -68.443626
    Unten rechts KachelX + 1 27068 KachelY + 1 25035 2.04863134 -1.19456662 117.377930 -68.443626
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19449616--1.19456662) × R
    7.04600000001054e-05 × 6371000     		dl = 448.900660000672m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19449616--1.19456662) × R
    7.04600000001054e-05 × 6371000     		dr = 448.900660000672m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04843959-2.04863134) × cos(-1.19449616) × R
    0.000191749999999935 × 0.367482034277936 × 6371000     		do = 448.930476743619m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04843959-2.04863134) × cos(-1.19456662) × R
    0.000191749999999935 × 0.367416503408289 × 6371000     		du = 448.850421661172m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19449616)-sin(-1.19456662))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.367482034277936-0.367416503408289)×R²
    abs(2.04863134-2.04843959)×6.55308696469459e-05×R²
    0.000191749999999935×6.55308696469459e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.55308696469459e-05×40589641000000     		ar = 201507.21899887m²