Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27064 / 7398
↖ ↑ ↗
← N 79.960846°
W 31.333008°		 ← 106.47 m → N 79.960846°
W 31.327515°		 →
↑
106.46 m
↓
↑
106.46 m
↓
N 79.959888°
W 31.333008°		 ← 106.48 m →
11 336 m²		 N 79.959888°
W 31.327515°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27064 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7398 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412971496582031 y=0.112892150878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412971496582031 × 216)
    floor (0.412971496582031 × 65536)
    floor (27064.5)     		tx = 27064
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112892150878906 × 216)
    floor (0.112892150878906 × 65536)
    floor (7398.5)     		ty = 7398
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27064 / 7398 ti = "16/27064/7398"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27064/7398.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27064 ÷ 216
    27064 ÷ 65536     		x = 0.4129638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7398 ÷ 216
    7398 ÷ 65536     		y = 0.112884521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4129638671875 × 2 - 1) × π
    -0.174072265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.54686415
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.112884521484375 × 2 - 1) × π
    0.77423095703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.43231828672165
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54686415} λ = -0.54686415}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43231828672165))-π/2
    2×atan(11.3852457729925)-π/2
    2×1.48318817902188-π/2
    2.96637635804376-1.57079632675     		φ = 1.39558003
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54686415} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.333008°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39558003 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.960846°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27064 KachelY 7398 -0.54686415 1.39558003 -31.333008 79.960846
    Oben rechts KachelX + 1 27065 KachelY 7398 -0.54676828 1.39558003 -31.327515 79.960846
    Unten links KachelX 27064 KachelY + 1 7399 -0.54686415 1.39556332 -31.333008 79.959888
    Unten rechts KachelX + 1 27065 KachelY + 1 7399 -0.54676828 1.39556332 -31.327515 79.959888
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39558003-1.39556332) × R
    1.67100000001419e-05 × 6371000     		dl = 106.459410000904m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39558003-1.39556332) × R
    1.67100000001419e-05 × 6371000     		dr = 106.459410000904m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54686415--0.54676828) × cos(1.39558003) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.174321126713386 × 6371000     		do = 106.473212249154m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54686415--0.54676828) × cos(1.39556332) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.174337580839846 × 6371000     		du = 106.483262228362m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39558003)-sin(1.39556332))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.174321126713386-0.174337580839846)×R²
    abs(-0.54676828--0.54686415)×1.64541264598139e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.64541264598139e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.64541264598139e-05×40589641000000     		ar = 11335.6103148377m²