Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27063 / 6657
↖ ↑ ↗
← N 80.646142°
W 31.338501°		 ← 99.27 m → N 80.646142°
W 31.333008°		 →
↑
99.32 m
↓
↑
99.32 m
↓
N 80.645249°
W 31.338501°		 ← 99.28 m →
9 861 m²		 N 80.645249°
W 31.333008°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27063 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6657 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412956237792969 y=0.101585388183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412956237792969 × 216)
    floor (0.412956237792969 × 65536)
    floor (27063.5)     		tx = 27063
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.101585388183594 × 216)
    floor (0.101585388183594 × 65536)
    floor (6657.5)     		ty = 6657
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27063 / 6657 ti = "16/27063/6657"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27063/6657.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27063 ÷ 216
    27063 ÷ 65536     		x = 0.412948608398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6657 ÷ 216
    6657 ÷ 65536     		y = 0.101577758789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412948608398438 × 2 - 1) × π
    -0.174102783203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.54696002
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.101577758789062 × 2 - 1) × π
    0.796844482421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.50336077195857
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54696002} λ = -0.54696002}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.50336077195857))-π/2
    2×atan(12.2235054212741)-π/2
    2×1.48916851666521-π/2
    2.97833703333041-1.57079632675     		φ = 1.40754071
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54696002} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.338501°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40754071 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.646142°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27063 KachelY 6657 -0.54696002 1.40754071 -31.338501 80.646142
    Oben rechts KachelX + 1 27064 KachelY 6657 -0.54686415 1.40754071 -31.333008 80.646142
    Unten links KachelX 27063 KachelY + 1 6658 -0.54696002 1.40752512 -31.338501 80.645249
    Unten rechts KachelX + 1 27064 KachelY + 1 6658 -0.54686415 1.40752512 -31.333008 80.645249
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40754071-1.40752512) × R
    1.55899999998432e-05 × 6371000     		dl = 99.3238899990012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40754071-1.40752512) × R
    1.55899999998432e-05 × 6371000     		dr = 99.3238899990012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54696002--0.54686415) × cos(1.40754071) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.162531390351441 × 6371000     		do = 99.272185467754m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54696002--0.54686415) × cos(1.40752512) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.162546773037281 × 6371000     		du = 99.2815810241346m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40754071)-sin(1.40752512))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.162531390351441-0.162546773037281)×R²
    abs(-0.54686415--0.54696002)×1.53826858396156e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.53826858396156e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.53826858396156e-05×40589641000000     		ar = 9860.56623110484m²