Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27060 / 42872
↖ ↑ ↗
← S 48.429200°
W 31.354981°		 ← 405.33 m → S 48.429200°
W 31.349487°		 →
↑
405.32 m
↓
↑
405.32 m
↓
S 48.432845°
W 31.354981°		 ← 405.30 m →
164 283 m²		 S 48.432845°
W 31.349487°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27060 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42872 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412910461425781 y=0.654182434082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412910461425781 × 216)
    floor (0.412910461425781 × 65536)
    floor (27060.5)     		tx = 27060
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654182434082031 × 216)
    floor (0.654182434082031 × 65536)
    floor (42872.5)     		ty = 42872
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27060 / 42872 ti = "16/27060/42872"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27060/42872.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27060 ÷ 216
    27060 ÷ 65536     		x = 0.41290283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42872 ÷ 216
    42872 ÷ 65536     		y = 0.6541748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41290283203125 × 2 - 1) × π
    -0.1741943359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.54724765
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6541748046875 × 2 - 1) × π
    -0.308349609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.968708867522095
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54724765} λ = -0.54724765}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.968708867522095))-π/2
    2×atan(0.379572800631833)-π/2
    2×0.362773661504966-π/2
    0.725547323009933-1.57079632675     		φ = -0.84524900
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54724765} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.354981°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84524900 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.429200°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27060 KachelY 42872 -0.54724765 -0.84524900 -31.354981 -48.429200
    Oben rechts KachelX + 1 27061 KachelY 42872 -0.54715177 -0.84524900 -31.349487 -48.429200
    Unten links KachelX 27060 KachelY + 1 42873 -0.54724765 -0.84531262 -31.354981 -48.432845
    Unten rechts KachelX + 1 27061 KachelY + 1 42873 -0.54715177 -0.84531262 -31.349487 -48.432845
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84524900--0.84531262) × R
    6.3619999999931e-05 × 6371000     		dl = 405.32301999956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84524900--0.84531262) × R
    6.3619999999931e-05 × 6371000     		dr = 405.32301999956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54724765--0.54715177) × cos(-0.84524900) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.663545017105883 × 6371000     		do = 405.327455745488m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54724765--0.54715177) × cos(-0.84531262) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.663497419327964 × 6371000     		du = 405.298380572402m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84524900)-sin(-0.84531262))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.663545017105883-0.663497419327964)×R²
    abs(-0.54715177--0.54724765)×4.75977779191838e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.75977779191838e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.75977779191838e-05×40589641000000     		ar = 164282.65608843m²