Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2706 / 1162
↖ ↑ ↗
← N 82.279430°
W120.541992°		 ← 328.23 m → N 82.279430°
W120.520020°		 →
↑
328.30 m
↓
↑
328.30 m
↓
N 82.276478°
W120.541992°		 ← 328.35 m →
107 776 m²		 N 82.276478°
W120.520020°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2706 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1162 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.165191650390625 y=0.070953369140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.165191650390625 × 214)
    floor (0.165191650390625 × 16384)
    floor (2706.5)     		tx = 2706
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.070953369140625 × 214)
    floor (0.070953369140625 × 16384)
    floor (1162.5)     		ty = 1162
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2706 / 1162 ti = "14/2706/1162"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2706/1162.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2706 ÷ 214
    2706 ÷ 16384     		x = 0.1651611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1162 ÷ 214
    1162 ÷ 16384     		y = 0.0709228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1651611328125 × 2 - 1) × π
    -0.669677734375 × 3.1415926535     		Λ = -2.10385465
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0709228515625 × 2 - 1) × π
    0.858154296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.69597123463196
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.10385465} λ = -2.10385465}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.69597123463196))-π/2
    2×atan(14.8199053711048)-π/2
    2×1.50342164383122-π/2
    3.00684328766245-1.57079632675     		φ = 1.43604696
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.10385465} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.541992°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43604696 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.279430°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2706 KachelY 1162 -2.10385465 1.43604696 -120.541992 82.279430
    Oben rechts KachelX + 1 2707 KachelY 1162 -2.10347116 1.43604696 -120.520020 82.279430
    Unten links KachelX 2706 KachelY + 1 1163 -2.10385465 1.43599543 -120.541992 82.276478
    Unten rechts KachelX + 1 2707 KachelY + 1 1163 -2.10347116 1.43599543 -120.520020 82.276478
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43604696-1.43599543) × R
    5.15300000001329e-05 × 6371000     		dl = 328.297630000846m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43604696-1.43599543) × R
    5.15300000001329e-05 × 6371000     		dr = 328.297630000846m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.10385465--2.10347116) × cos(1.43604696) × R
    0.000383490000000375 × 0.134341954006087 × 6371000     		do = 328.226248945493m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.10385465--2.10347116) × cos(1.43599543) × R
    0.000383490000000375 × 0.134393016709947 × 6371000     		du = 328.351006098782m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43604696)-sin(1.43599543))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.134341954006087-0.134393016709947)×R²
    abs(-2.10347116--2.10385465)×5.10627038601275e-05×R²
    0.000383490000000375×5.10627038601275e-05×6371000²
    0.000383490000000375×5.10627038601275e-05×40589641000000     		ar = 107776.378395156m²