Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 27059 / 6300
↖ ↑ ↗
← N 80.959552°
W 31.360474°		 ← 95.97 m → N 80.959552°
W 31.354981°		 →
↑
96.01 m
↓
↑
96.01 m
↓
N 80.958689°
W 31.360474°		 ← 95.98 m →
9 215 m²		 N 80.958689°
W 31.354981°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27059 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6300 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412895202636719 y=0.0961380004882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412895202636719 × 216)
    floor (0.412895202636719 × 65536)
    floor (27059.5)     		tx = 27059
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0961380004882812 × 216)
    floor (0.0961380004882812 × 65536)
    floor (6300.5)     		ty = 6300
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27059 / 6300 ti = "16/27059/6300"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27059/6300.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27059 ÷ 216
    27059 ÷ 65536     		x = 0.412887573242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6300 ÷ 216
    6300 ÷ 65536     		y = 0.09613037109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412887573242188 × 2 - 1) × π
    -0.174224853515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.54734352
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09613037109375 × 2 - 1) × π
    0.8077392578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.53758771828729
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54734352} λ = -0.54734352}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53758771828729))-π/2
    2×atan(12.649120894937)-π/2
    2×1.49190353605478-π/2
    2.98380707210955-1.57079632675     		φ = 1.41301075
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54734352} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.360474°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41301075 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.959552°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27059 KachelY 6300 -0.54734352 1.41301075 -31.360474 80.959552
    Oben rechts KachelX + 1 27060 KachelY 6300 -0.54724765 1.41301075 -31.354981 80.959552
    Unten links KachelX 27059 KachelY + 1 6301 -0.54734352 1.41299568 -31.360474 80.958689
    Unten rechts KachelX + 1 27060 KachelY + 1 6301 -0.54724765 1.41299568 -31.354981 80.958689
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41301075-1.41299568) × R
    1.50699999998949e-05 × 6371000     		dl = 96.0109699993303m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41301075-1.41299568) × R
    1.50699999998949e-05 × 6371000     		dr = 96.0109699993303m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54734352--0.54724765) × cos(1.41301075) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.157131678774106 × 6371000     		do = 95.9741076747901m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54734352--0.54724765) × cos(1.41299568) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.157146561551606 × 6371000     		du = 95.983197893271m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41301075)-sin(1.41299568))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157131678774106-0.157146561551606)×R²
    abs(-0.54724765--0.54734352)×1.4882777500419e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.4882777500419e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.4882777500419e-05×40589641000000     		ar = 9215.00355311198m²