Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 27059 / 11971
↖ ↑ ↗
← N 43.556511°
E117.279053°		 ← 885.32 m → N 43.556511°
E117.290039°		 →
↑
885.38 m
↓
↑
885.38 m
↓
N 43.548548°
E117.279053°		 ← 885.43 m →
783 891 m²		 N 43.548548°
E117.290039°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27059 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11971 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.825790405273438 y=0.365341186523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.825790405273438 × 215)
    floor (0.825790405273438 × 32768)
    floor (27059.5)     		tx = 27059
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.365341186523438 × 215)
    floor (0.365341186523438 × 32768)
    floor (11971.5)     		ty = 11971
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 27059 / 11971 ti = "15/27059/11971"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/27059/11971.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27059 ÷ 215
    27059 ÷ 32768     		x = 0.825775146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11971 ÷ 215
    11971 ÷ 32768     		y = 0.365325927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.825775146484375 × 2 - 1) × π
    0.65155029296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.04690561
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.365325927734375 × 2 - 1) × π
    0.26934814453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.846182152093231
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04690561} λ = 2.04690561}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.846182152093231))-π/2
    2×atan(2.33073146571327)-π/2
    2×1.16550042175051-π/2
    2.33100084350102-1.57079632675     		φ = 0.76020452
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04690561} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.279053°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76020452 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.556511°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27059 KachelY 11971 2.04690561 0.76020452 117.279053 43.556511
    Oben rechts KachelX + 1 27060 KachelY 11971 2.04709736 0.76020452 117.290039 43.556511
    Unten links KachelX 27059 KachelY + 1 11972 2.04690561 0.76006555 117.279053 43.548548
    Unten rechts KachelX + 1 27060 KachelY + 1 11972 2.04709736 0.76006555 117.290039 43.548548
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76020452-0.76006555) × R
    0.000138970000000072 × 6371000     		dl = 885.377870000456m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76020452-0.76006555) × R
    0.000138970000000072 × 6371000     		dr = 885.377870000456m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04690561-2.04709736) × cos(0.76020452) × R
    0.000191749999999935 × 0.724695097368557 × 6371000     		do = 885.315975227701m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04690561-2.04709736) × cos(0.76006555) × R
    0.000191749999999935 × 0.724790850382972 × 6371000     		du = 885.432950868416m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76020452)-sin(0.76006555))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.724695097368557-0.724790850382972)×R²
    abs(2.04709736-2.04690561)×9.57530144148899e-05×R²
    0.000191749999999935×9.57530144148899e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.57530144148899e-05×40589641000000     		ar = 783890.957507668m²