Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 27058 / 11970
↖ ↑ ↗
← N 43.564472°
E117.268067°		 ← 885.15 m → N 43.564472°
E117.279053°		 →
↑
885.25 m
↓
↑
885.25 m
↓
N 43.556511°
E117.268067°		 ← 885.27 m →
783 634 m²		 N 43.556511°
E117.279053°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27058 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11970 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.825759887695312 y=0.365310668945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.825759887695312 × 215)
    floor (0.825759887695312 × 32768)
    floor (27058.5)     		tx = 27058
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.365310668945312 × 215)
    floor (0.365310668945312 × 32768)
    floor (11970.5)     		ty = 11970
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 27058 / 11970 ti = "15/27058/11970"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/27058/11970.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27058 ÷ 215
    27058 ÷ 32768     		x = 0.82574462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11970 ÷ 215
    11970 ÷ 32768     		y = 0.36529541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82574462890625 × 2 - 1) × π
    0.6514892578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.04671387
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36529541015625 × 2 - 1) × π
    0.2694091796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.846373899691711
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04671387} λ = 2.04671387}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.846373899691711))-π/2
    2×atan(2.33117842072443)-π/2
    2×1.16556989643292-π/2
    2.33113979286584-1.57079632675     		φ = 0.76034347
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04671387} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.268067°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76034347 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.564472°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27058 KachelY 11970 2.04671387 0.76034347 117.268067 43.564472
    Oben rechts KachelX + 1 27059 KachelY 11970 2.04690561 0.76034347 117.279053 43.564472
    Unten links KachelX 27058 KachelY + 1 11971 2.04671387 0.76020452 117.268067 43.556511
    Unten rechts KachelX + 1 27059 KachelY + 1 11971 2.04690561 0.76020452 117.279053 43.556511
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76034347-0.76020452) × R
    0.000138949999999971 × 6371000     		dl = 885.250449999815m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76034347-0.76020452) × R
    0.000138949999999971 × 6371000     		dr = 885.250449999815m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04671387-2.04690561) × cos(0.76034347) × R
    0.000191739999999996 × 0.724599344141759 × 6371000     		do = 885.152835103596m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04671387-2.04690561) × cos(0.76020452) × R
    0.000191739999999996 × 0.724695097368557 × 6371000     		du = 885.269804903328m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76034347)-sin(0.76020452))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.724599344141759-0.724695097368557)×R²
    abs(2.04690561-2.04671387)×9.575322679789e-05×R²
    0.000191739999999996×9.575322679789e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.575322679789e-05×40589641000000     		ar = 783633.720638835m²