Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 27058 / 11538
↖ ↑ ↗
← N 46.905245°
E117.268067°		 ← 834.59 m → N 46.905245°
E117.279053°		 →
↑
834.66 m
↓
↑
834.66 m
↓
N 46.897739°
E117.268067°		 ← 834.71 m →
696 651 m²		 N 46.897739°
E117.279053°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27058 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11538 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.825759887695312 y=0.352127075195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.825759887695312 × 215)
    floor (0.825759887695312 × 32768)
    floor (27058.5)     		tx = 27058
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.352127075195312 × 215)
    floor (0.352127075195312 × 32768)
    floor (11538.5)     		ty = 11538
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 27058 / 11538 ti = "15/27058/11538"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/27058/11538.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27058 ÷ 215
    27058 ÷ 32768     		x = 0.82574462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11538 ÷ 215
    11538 ÷ 32768     		y = 0.35211181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82574462890625 × 2 - 1) × π
    0.6514892578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.04671387
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35211181640625 × 2 - 1) × π
    0.2957763671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.929208862235169
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04671387} λ = 2.04671387}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.929208862235169))-π/2
    2×atan(2.53250482465633)-π/2
    2×1.19472364900917-π/2
    2.38944729801835-1.57079632675     		φ = 0.81865097
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04671387} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.268067°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81865097 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.905245°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27058 KachelY 11538 2.04671387 0.81865097 117.268067 46.905245
    Oben rechts KachelX + 1 27059 KachelY 11538 2.04690561 0.81865097 117.279053 46.905245
    Unten links KachelX 27058 KachelY + 1 11539 2.04671387 0.81851996 117.268067 46.897739
    Unten rechts KachelX + 1 27059 KachelY + 1 11539 2.04690561 0.81851996 117.279053 46.897739
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81865097-0.81851996) × R
    0.000131009999999931 × 6371000     		dl = 834.664709999563m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81865097-0.81851996) × R
    0.000131009999999931 × 6371000     		dr = 834.664709999563m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04671387-2.04690561) × cos(0.81865097) × R
    0.000191739999999996 × 0.683206923866187 × 6371000     		do = 834.588866953558m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04671387-2.04690561) × cos(0.81851996) × R
    0.000191739999999996 × 0.683302584757456 × 6371000     		du = 834.705723958466m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81865097)-sin(0.81851996))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.683206923866187-0.683302584757456)×R²
    abs(2.04690561-2.04671387)×9.56608912684453e-05×R²
    0.000191739999999996×9.56608912684453e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.56608912684453e-05×40589641000000     		ar = 696650.64381066m²