Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27057 / 6291
↖ ↑ ↗
← N 80.967317°
W 31.371460°		 ← 95.90 m → N 80.967317°
W 31.365967°		 →
↑
95.88 m
↓
↑
95.88 m
↓
N 80.966455°
W 31.371460°		 ← 95.91 m →
9 196 m²		 N 80.966455°
W 31.365967°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27057 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6291 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412864685058594 y=0.0960006713867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412864685058594 × 216)
    floor (0.412864685058594 × 65536)
    floor (27057.5)     		tx = 27057
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0960006713867188 × 216)
    floor (0.0960006713867188 × 65536)
    floor (6291.5)     		ty = 6291
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27057 / 6291 ti = "16/27057/6291"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27057/6291.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27057 ÷ 216
    27057 ÷ 65536     		x = 0.412857055664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6291 ÷ 216
    6291 ÷ 65536     		y = 0.0959930419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412857055664062 × 2 - 1) × π
    -0.174285888671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.54753527
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0959930419921875 × 2 - 1) × π
    0.808013916015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.53845058248045
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54753527} λ = -0.54753527}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53845058248045))-π/2
    2×atan(12.660040078641)-π/2
    2×1.49197129883021-π/2
    2.98394259766042-1.57079632675     		φ = 1.41314627
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54753527} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.371460°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41314627 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.967317°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27057 KachelY 6291 -0.54753527 1.41314627 -31.371460 80.967317
    Oben rechts KachelX + 1 27058 KachelY 6291 -0.54743939 1.41314627 -31.365967 80.967317
    Unten links KachelX 27057 KachelY + 1 6292 -0.54753527 1.41313122 -31.371460 80.966455
    Unten rechts KachelX + 1 27058 KachelY + 1 6292 -0.54743939 1.41313122 -31.365967 80.966455
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41314627-1.41313122) × R
    1.50500000000164e-05 × 6371000     		dl = 95.8835500001047m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41314627-1.41313122) × R
    1.50500000000164e-05 × 6371000     		dr = 95.8835500001047m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54753527--0.54743939) × cos(1.41314627) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.15699784080705 × 6371000     		do = 95.9023634138388m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54753527--0.54743939) × cos(1.41313122) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.157012704153405 × 6371000     		du = 95.9114427109577m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41314627)-sin(1.41313122))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15699784080705-0.157012704153405)×R²
    abs(-0.54743939--0.54753527)×1.48633463553371e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.48633463553371e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.48633463553371e-05×40589641000000     		ar = 9195.89433565645m²