Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 27057 / 11540
↖ ↑ ↗
← N 46.890232°
E117.257080°		 ← 834.87 m → N 46.890232°
E117.268067°		 →
↑
834.92 m
↓
↑
834.92 m
↓
N 46.882723°
E117.257080°		 ← 834.98 m →
697 095 m²		 N 46.882723°
E117.268067°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27057 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11540 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.825729370117188 y=0.352188110351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.825729370117188 × 215)
    floor (0.825729370117188 × 32768)
    floor (27057.5)     		tx = 27057
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.352188110351562 × 215)
    floor (0.352188110351562 × 32768)
    floor (11540.5)     		ty = 11540
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 27057 / 11540 ti = "15/27057/11540"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/27057/11540.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27057 ÷ 215
    27057 ÷ 32768     		x = 0.825714111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11540 ÷ 215
    11540 ÷ 32768     		y = 0.3521728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.825714111328125 × 2 - 1) × π
    0.65142822265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.04652212
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3521728515625 × 2 - 1) × π
    0.295654296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.928825367038208
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04652212} λ = 2.04652212}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.928825367038208))-π/2
    2×atan(2.53153380742192)-π/2
    2×1.19459262737929-π/2
    2.38918525475857-1.57079632675     		φ = 0.81838893
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04652212} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.257080°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81838893 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.890232°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27057 KachelY 11540 2.04652212 0.81838893 117.257080 46.890232
    Oben rechts KachelX + 1 27058 KachelY 11540 2.04671387 0.81838893 117.268067 46.890232
    Unten links KachelX 27057 KachelY + 1 11541 2.04652212 0.81825788 117.257080 46.882723
    Unten rechts KachelX + 1 27058 KachelY + 1 11541 2.04671387 0.81825788 117.268067 46.882723
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81838893-0.81825788) × R
    0.000131050000000021 × 6371000     		dl = 834.919550000136m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81838893-0.81825788) × R
    0.000131050000000021 × 6371000     		dr = 834.919550000136m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04652212-2.04671387) × cos(0.81838893) × R
    0.000191749999999935 × 0.683398248521694 × 6371000     		do = 834.866123775073m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04652212-2.04671387) × cos(0.81825788) × R
    0.000191749999999935 × 0.683493915151887 × 6371000     		du = 834.982993885432m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81838893)-sin(0.81825788))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.683398248521694-0.683493915151887)×R²
    abs(2.04671387-2.04652212)×9.56666301930031e-05×R²
    0.000191749999999935×9.56666301930031e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.56666301930031e-05×40589641000000     		ar = 697094.837940701m²