Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27053 / 6610
↖ ↑ ↗
← N 80.688011°
W 31.393432°		 ← 98.83 m → N 80.688011°
W 31.387940°		 →
↑
98.88 m
↓
↑
98.88 m
↓
N 80.687122°
W 31.393432°		 ← 98.84 m →
9 773 m²		 N 80.687122°
W 31.387940°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27053 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6610 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412803649902344 y=0.100868225097656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412803649902344 × 216)
    floor (0.412803649902344 × 65536)
    floor (27053.5)     		tx = 27053
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.100868225097656 × 216)
    floor (0.100868225097656 × 65536)
    floor (6610.5)     		ty = 6610
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27053 / 6610 ti = "16/27053/6610"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27053/6610.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27053 ÷ 216
    27053 ÷ 65536     		x = 0.412796020507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6610 ÷ 216
    6610 ÷ 65536     		y = 0.100860595703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412796020507812 × 2 - 1) × π
    -0.174407958984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.54791876
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.100860595703125 × 2 - 1) × π
    0.79827880859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.50786684052286
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54791876} λ = -0.54791876}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.50786684052286))-π/2
    2×atan(12.2787096584286)-π/2
    2×1.48953389257416-π/2
    2.97906778514831-1.57079632675     		φ = 1.40827146
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54791876} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.393432°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40827146 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.688011°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27053 KachelY 6610 -0.54791876 1.40827146 -31.393432 80.688011
    Oben rechts KachelX + 1 27054 KachelY 6610 -0.54782289 1.40827146 -31.387940 80.688011
    Unten links KachelX 27053 KachelY + 1 6611 -0.54791876 1.40825594 -31.393432 80.687122
    Unten rechts KachelX + 1 27054 KachelY + 1 6611 -0.54782289 1.40825594 -31.387940 80.687122
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40827146-1.40825594) × R
    1.55199999998246e-05 × 6371000     		dl = 98.8779199988823m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40827146-1.40825594) × R
    1.55199999998246e-05 × 6371000     		dr = 98.8779199988823m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54791876--0.54782289) × cos(1.40827146) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.161810313529955 × 6371000     		do = 98.83176056396m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54791876--0.54782289) × cos(1.40825594) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.161825628986041 × 6371000     		du = 98.8411150572293m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40827146)-sin(1.40825594))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.161810313529955-0.161825628986041)×R²
    abs(-0.54782289--0.54791876)×1.5315456085907e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.5315456085907e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.5315456085907e-05×40589641000000     		ar = 9772.74139090244m²