Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 27053 / 25037
↖ ↑ ↗
← S 68.451698°
E117.213135°		 ← 448.69 m → S 68.451698°
E117.224121°		 →
↑
448.65 m
↓
↑
448.65 m
↓
S 68.455732°
E117.213135°		 ← 448.61 m →
201 285 m²		 S 68.455732°
E117.224121°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27053 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25037 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.825607299804688 y=0.764083862304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.825607299804688 × 215)
    floor (0.825607299804688 × 32768)
    floor (27053.5)     		tx = 27053
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764083862304688 × 215)
    floor (0.764083862304688 × 32768)
    floor (25037.5)     		ty = 25037
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 27053 / 25037 ti = "15/27053/25037"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/27053/25037.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27053 ÷ 215
    27053 ÷ 32768     		x = 0.825592041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25037 ÷ 215
    25037 ÷ 32768     		y = 0.764068603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.825592041015625 × 2 - 1) × π
    0.65118408203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.04575513
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764068603515625 × 2 - 1) × π
    -0.52813720703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.65919196964938
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04575513} λ = 2.04575513}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65919196964938))-π/2
    2×atan(0.19029268025711)-π/2
    2×0.188044413979593-π/2
    0.376088827959187-1.57079632675     		φ = -1.19470750
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04575513} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.213135°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19470750 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.451698°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27053 KachelY 25037 2.04575513 -1.19470750 117.213135 -68.451698
    Oben rechts KachelX + 1 27054 KachelY 25037 2.04594688 -1.19470750 117.224121 -68.451698
    Unten links KachelX 27053 KachelY + 1 25038 2.04575513 -1.19477792 117.213135 -68.455732
    Unten rechts KachelX + 1 27054 KachelY + 1 25038 2.04594688 -1.19477792 117.224121 -68.455732
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19470750--1.19477792) × R
    7.04199999999044e-05 × 6371000     		dl = 448.645819999391m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19470750--1.19477792) × R
    7.04199999999044e-05 × 6371000     		dr = 448.645819999391m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04575513-2.04594688) × cos(-1.19470750) × R
    0.000191749999999935 × 0.36728547340141 × 6371000     		do = 448.690350261842m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04575513-2.04594688) × cos(-1.19477792) × R
    0.000191749999999935 × 0.367219974266899 × 6371000     		du = 448.610333948282m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19470750)-sin(-1.19477792))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.36728547340141-0.367219974266899)×R²
    abs(2.04594688-2.04575513)×6.54991345110378e-05×R²
    0.000191749999999935×6.54991345110378e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.54991345110378e-05×40589641000000     		ar = 201285.100710116m²