Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 27051 / 25064
↖ ↑ ↗
← S 68.560384°
E117.191162°		 ← 446.53 m → S 68.560384°
E117.202148°		 →
↑
446.48 m
↓
↑
446.48 m
↓
S 68.564399°
E117.191162°		 ← 446.45 m →
199 351 m²		 S 68.564399°
E117.202148°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27051 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25064 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.825546264648438 y=0.764907836914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.825546264648438 × 215)
    floor (0.825546264648438 × 32768)
    floor (27051.5)     		tx = 27051
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764907836914062 × 215)
    floor (0.764907836914062 × 32768)
    floor (25064.5)     		ty = 25064
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 27051 / 25064 ti = "15/27051/25064"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/27051/25064.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27051 ÷ 215
    27051 ÷ 32768     		x = 0.825531005859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25064 ÷ 215
    25064 ÷ 32768     		y = 0.764892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.825531005859375 × 2 - 1) × π
    0.65106201171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.04537163
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764892578125 × 2 - 1) × π
    -0.52978515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.66436915480835
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04537163} λ = 2.04537163}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66436915480835))-π/2
    2×atan(0.189310045652485)-π/2
    2×0.187095947524891-π/2
    0.374191895049781-1.57079632675     		φ = -1.19660443
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04537163} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.191162°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19660443 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.560384°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27051 KachelY 25064 2.04537163 -1.19660443 117.191162 -68.560384
    Oben rechts KachelX + 1 27052 KachelY 25064 2.04556338 -1.19660443 117.202148 -68.560384
    Unten links KachelX 27051 KachelY + 1 25065 2.04537163 -1.19667451 117.191162 -68.564399
    Unten rechts KachelX + 1 27052 KachelY + 1 25065 2.04556338 -1.19667451 117.202148 -68.564399
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19660443--1.19667451) × R
    7.00799999999724e-05 × 6371000     		dl = 446.479679999824m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19660443--1.19667451) × R
    7.00799999999724e-05 × 6371000     		dr = 446.479679999824m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04537163-2.04556338) × cos(-1.19660443) × R
    0.000191749999999935 × 0.365520463382635 × 6371000     		do = 446.534144746263m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04537163-2.04556338) × cos(-1.19667451) × R
    0.000191749999999935 × 0.365455231789566 × 6371000     		du = 446.454455271831m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19660443)-sin(-1.19667451))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.365520463382635-0.365455231789566)×R²
    abs(2.04556338-2.04537163)×6.52315930682601e-05×R²
    0.000191749999999935×6.52315930682601e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.52315930682601e-05×40589641000000     		ar = 199350.632271018m²