Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 27051 / 11948
↖ ↑ ↗
← N 43.739352°
E117.191162°		 ← 882.63 m → N 43.739352°
E117.202148°		 →
↑
882.70 m
↓
↑
882.70 m
↓
N 43.731414°
E117.191162°		 ← 882.74 m →
779 147 m²		 N 43.731414°
E117.202148°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27051 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11948 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.825546264648438 y=0.364639282226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.825546264648438 × 215)
    floor (0.825546264648438 × 32768)
    floor (27051.5)     		tx = 27051
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.364639282226562 × 215)
    floor (0.364639282226562 × 32768)
    floor (11948.5)     		ty = 11948
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 27051 / 11948 ti = "15/27051/11948"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/27051/11948.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27051 ÷ 215
    27051 ÷ 32768     		x = 0.825531005859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11948 ÷ 215
    11948 ÷ 32768     		y = 0.3646240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.825531005859375 × 2 - 1) × π
    0.65106201171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.04537163
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3646240234375 × 2 - 1) × π
    0.270751953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.850592346858276
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04537163} λ = 2.04537163}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.850592346858276))-π/2
    2×atan(2.34103314493082)-π/2
    2×1.1670960166238-π/2
    2.33419203324761-1.57079632675     		φ = 0.76339571
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04537163} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.191162°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76339571 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.739352°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27051 KachelY 11948 2.04537163 0.76339571 117.191162 43.739352
    Oben rechts KachelX + 1 27052 KachelY 11948 2.04556338 0.76339571 117.202148 43.739352
    Unten links KachelX 27051 KachelY + 1 11949 2.04537163 0.76325716 117.191162 43.731414
    Unten rechts KachelX + 1 27052 KachelY + 1 11949 2.04556338 0.76325716 117.202148 43.731414
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76339571-0.76325716) × R
    0.00013854999999996 × 6371000     		dl = 882.702049999742m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76339571-0.76325716) × R
    0.00013854999999996 × 6371000     		dr = 882.702049999742m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04537163-2.04556338) × cos(0.76339571) × R
    0.000191749999999935 × 0.722492458814021 × 6371000     		do = 882.625145515918m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04537163-2.04556338) × cos(0.76325716) × R
    0.000191749999999935 × 0.722588242412122 × 6371000     		du = 882.742158518864m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76339571)-sin(0.76325716))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.722492458814021-0.722588242412122)×R²
    abs(2.04556338-2.04537163)×9.57835981010291e-05×R²
    0.000191749999999935×9.57835981010291e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.57835981010291e-05×40589641000000     		ar = 779146.6703826m²