Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 27050 / 9302
↖ ↑ ↗
← N 77.963874°
W 31.409912°		 ← 127.37 m → N 77.963874°
W 31.404419°		 →
↑
127.36 m
↓
↑
127.36 m
↓
N 77.962729°
W 31.409912°		 ← 127.38 m →
16 222 m²		 N 77.962729°
W 31.404419°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27050 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9302 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412757873535156 y=0.141944885253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412757873535156 × 216)
    floor (0.412757873535156 × 65536)
    floor (27050.5)     		tx = 27050
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141944885253906 × 216)
    floor (0.141944885253906 × 65536)
    floor (9302.5)     		ty = 9302
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27050 / 9302 ti = "16/27050/9302"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27050/9302.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27050 ÷ 216
    27050 ÷ 65536     		x = 0.412750244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9302 ÷ 216
    9302 ÷ 65536     		y = 0.141937255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412750244140625 × 2 - 1) × π
    -0.17449951171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.54820638
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.141937255859375 × 2 - 1) × π
    0.71612548828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.24977457296848
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54820638} λ = -0.54820638}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24977457296848))-π/2
    2×atan(9.48559728528571)-π/2
    2×1.46576131306926-π/2
    2.93152262613852-1.57079632675     		φ = 1.36072630
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54820638} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.409912°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36072630 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.963874°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27050 KachelY 9302 -0.54820638 1.36072630 -31.409912 77.963874
    Oben rechts KachelX + 1 27051 KachelY 9302 -0.54811051 1.36072630 -31.404419 77.963874
    Unten links KachelX 27050 KachelY + 1 9303 -0.54820638 1.36070631 -31.409912 77.962729
    Unten rechts KachelX + 1 27051 KachelY + 1 9303 -0.54811051 1.36070631 -31.404419 77.962729
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36072630-1.36070631) × R
    1.99899999999698e-05 × 6371000     		dl = 127.356289999807m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36072630-1.36070631) × R
    1.99899999999698e-05 × 6371000     		dr = 127.356289999807m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54820638--0.54811051) × cos(1.36072630) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.208528387705194 × 6371000     		do = 127.366588908148m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54820638--0.54811051) × cos(1.36070631) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.208547938209656 × 6371000     		du = 127.378530117171m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36072630)-sin(1.36070631))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.208528387705194-0.208547938209656)×R²
    abs(-0.54811051--0.54820638)×1.95505044624789e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.95505044624789e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.95505044624789e-05×40589641000000     		ar = 16221.6966279225m²