Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2705 / 1458
↖ ↑ ↗
← N 81.354684°
W120.563965°		 ← 367.27 m → N 81.354684°
W120.541992°		 →
↑
367.35 m
↓
↑
367.35 m
↓
N 81.351380°
W120.563965°		 ← 367.41 m →
134 942 m²		 N 81.351380°
W120.541992°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2705 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1458 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.165130615234375 y=0.089019775390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.165130615234375 × 214)
    floor (0.165130615234375 × 16384)
    floor (2705.5)     		tx = 2705
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.089019775390625 × 214)
    floor (0.089019775390625 × 16384)
    floor (1458.5)     		ty = 1458
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2705 / 1458 ti = "14/2705/1458"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2705/1458.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2705 ÷ 214
    2705 ÷ 16384     		x = 0.16510009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1458 ÷ 214
    1458 ÷ 16384     		y = 0.0889892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.16510009765625 × 2 - 1) × π
    -0.6697998046875 × 3.1415926535     		Λ = -2.10423815
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0889892578125 × 2 - 1) × π
    0.822021484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.58245665633167
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.10423815} λ = -2.10423815}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58245665633167))-π/2
    2×atan(13.2295988487314)-π/2
    2×1.49535171245217-π/2
    2.99070342490434-1.57079632675     		φ = 1.41990710
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.10423815} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.563965°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41990710 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.354684°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2705 KachelY 1458 -2.10423815 1.41990710 -120.563965 81.354684
    Oben rechts KachelX + 1 2706 KachelY 1458 -2.10385465 1.41990710 -120.541992 81.354684
    Unten links KachelX 2705 KachelY + 1 1459 -2.10423815 1.41984944 -120.563965 81.351380
    Unten rechts KachelX + 1 2706 KachelY + 1 1459 -2.10385465 1.41984944 -120.541992 81.351380
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41990710-1.41984944) × R
    5.76600000001815e-05 × 6371000     		dl = 367.351860001156m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41990710-1.41984944) × R
    5.76600000001815e-05 × 6371000     		dr = 367.351860001156m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.10423815--2.10385465) × cos(1.41990710) × R
    0.00038349999999987 × 0.150317315012069 × 6371000     		do = 367.26706394659m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.10423815--2.10385465) × cos(1.41984944) × R
    0.00038349999999987 × 0.150374319617859 × 6371000     		du = 367.40634207432m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41990710)-sin(1.41984944))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150317315012069-0.150374319617859)×R²
    abs(-2.10385465--2.10423815)×5.70046057906393e-05×R²
    0.00038349999999987×5.70046057906393e-05×6371000²
    0.00038349999999987×5.70046057906393e-05×40589641000000     		ar = 134941.821135918m²