Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27048 / 6712
↖ ↑ ↗
← N 80.596910°
W 31.420898°		 ← 99.79 m → N 80.596910°
W 31.415405°		 →
↑
99.83 m
↓
↑
99.83 m
↓
N 80.596012°
W 31.420898°		 ← 99.80 m →
9 963 m²		 N 80.596012°
W 31.415405°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27048 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6712 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412727355957031 y=0.102424621582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412727355957031 × 216)
    floor (0.412727355957031 × 65536)
    floor (27048.5)     		tx = 27048
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.102424621582031 × 216)
    floor (0.102424621582031 × 65536)
    floor (6712.5)     		ty = 6712
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27048 / 6712 ti = "16/27048/6712"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27048/6712.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27048 ÷ 216
    27048 ÷ 65536     		x = 0.4127197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6712 ÷ 216
    6712 ÷ 65536     		y = 0.1024169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4127197265625 × 2 - 1) × π
    -0.174560546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.54839813
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1024169921875 × 2 - 1) × π
    0.795166015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.49808771300037
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54839813} λ = -0.54839813}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.49808771300037))-π/2
    2×atan(12.1592197964127)-π/2
    2×1.48873888119124-π/2
    2.97747776238248-1.57079632675     		φ = 1.40668144
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54839813} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.420898°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40668144 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.596910°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27048 KachelY 6712 -0.54839813 1.40668144 -31.420898 80.596910
    Oben rechts KachelX + 1 27049 KachelY 6712 -0.54830226 1.40668144 -31.415405 80.596910
    Unten links KachelX 27048 KachelY + 1 6713 -0.54839813 1.40666577 -31.420898 80.596012
    Unten rechts KachelX + 1 27049 KachelY + 1 6713 -0.54830226 1.40666577 -31.415405 80.596012
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40668144-1.40666577) × R
    1.56700000000232e-05 × 6371000     		dl = 99.8335700001476m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40668144-1.40666577) × R
    1.56700000000232e-05 × 6371000     		dr = 99.8335700001476m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54839813--0.54830226) × cos(1.40668144) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.163379174852689 × 6371000     		do = 99.7900018727119m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54839813--0.54830226) × cos(1.40666577) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.163394634280337 × 6371000     		du = 99.7994443020507m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40668144)-sin(1.40666577))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.163379174852689-0.163394634280337)×R²
    abs(-0.54830226--0.54839813)×1.54594276483011e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.54594276483011e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.54594276483011e-05×40589641000000     		ar = 9962.86347337656m²