Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 27048 / 25069
↖ ↑ ↗
← S 68.580453°
E117.158203°		 ← 446.14 m → S 68.580453°
E117.169190°		 →
↑
446.10 m
↓
↑
446.10 m
↓
S 68.584465°
E117.158203°		 ← 446.06 m →
199 002 m²		 S 68.584465°
E117.169190°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27048 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25069 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.825454711914062 y=0.765060424804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.825454711914062 × 215)
    floor (0.825454711914062 × 32768)
    floor (27048.5)     		tx = 27048
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.765060424804688 × 215)
    floor (0.765060424804688 × 32768)
    floor (25069.5)     		ty = 25069
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 27048 / 25069 ti = "15/27048/25069"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/27048/25069.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27048 ÷ 215
    27048 ÷ 32768     		x = 0.825439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25069 ÷ 215
    25069 ÷ 32768     		y = 0.765045166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.825439453125 × 2 - 1) × π
    0.65087890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.04479639
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.765045166015625 × 2 - 1) × π
    -0.53009033203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.66532789280075
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04479639} λ = 2.04479639}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66532789280075))-π/2
    2×atan(0.189128633896442)-π/2
    2×0.186920806510867-π/2
    0.373841613021734-1.57079632675     		φ = -1.19695471
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04479639} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.158203°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19695471 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.580453°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27048 KachelY 25069 2.04479639 -1.19695471 117.158203 -68.580453
    Oben rechts KachelX + 1 27049 KachelY 25069 2.04498814 -1.19695471 117.169190 -68.580453
    Unten links KachelX 27048 KachelY + 1 25070 2.04479639 -1.19702473 117.158203 -68.584465
    Unten rechts KachelX + 1 27049 KachelY + 1 25070 2.04498814 -1.19702473 117.169190 -68.584465
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19695471--1.19702473) × R
    7.0020000000115e-05 × 6371000     		dl = 446.097420000733m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19695471--1.19702473) × R
    7.0020000000115e-05 × 6371000     		dr = 446.097420000733m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04479639-2.04498814) × cos(-1.19695471) × R
    0.000191749999999935 × 0.365194399183993 × 6371000     		do = 446.135811923182m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04479639-2.04498814) × cos(-1.19702473) × R
    0.000191749999999935 × 0.36512921448048 × 6371000     		du = 446.056179730872m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19695471)-sin(-1.19702473))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.365194399183993-0.36512921448048)×R²
    abs(2.04498814-2.04479639)×6.51847035124109e-05×R²
    0.000191749999999935×6.51847035124109e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.51847035124109e-05×40589641000000     		ar = 199002.272892657m²