Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27046 / 8086
↖ ↑ ↗
← N 79.280184°
W 31.431885°		 ← 113.61 m → N 79.280184°
W 31.426392°		 →
↑
113.59 m
↓
↑
113.59 m
↓
N 79.279162°
W 31.431885°		 ← 113.62 m →
12 906 m²		 N 79.279162°
W 31.426392°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27046 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8086 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412696838378906 y=0.123390197753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412696838378906 × 216)
    floor (0.412696838378906 × 65536)
    floor (27046.5)     		tx = 27046
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123390197753906 × 216)
    floor (0.123390197753906 × 65536)
    floor (8086.5)     		ty = 8086
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27046 / 8086 ti = "16/27046/8086"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27046/8086.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27046 ÷ 216
    27046 ÷ 65536     		x = 0.412689208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8086 ÷ 216
    8086 ÷ 65536     		y = 0.123382568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412689208984375 × 2 - 1) × π
    -0.17462158203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.54858988
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.123382568359375 × 2 - 1) × π
    0.75323486328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.36635711284445
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54858988} λ = -0.54858988}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36635711284445))-π/2
    2×atan(10.658493785599)-π/2
    2×1.47724828538458-π/2
    2.95449657076916-1.57079632675     		φ = 1.38370024
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54858988} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.431885°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38370024 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.280184°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27046 KachelY 8086 -0.54858988 1.38370024 -31.431885 79.280184
    Oben rechts KachelX + 1 27047 KachelY 8086 -0.54849401 1.38370024 -31.426392 79.280184
    Unten links KachelX 27046 KachelY + 1 8087 -0.54858988 1.38368241 -31.431885 79.279162
    Unten rechts KachelX + 1 27047 KachelY + 1 8087 -0.54849401 1.38368241 -31.426392 79.279162
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38370024-1.38368241) × R
    1.78299999999965e-05 × 6371000     		dl = 113.594929999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38370024-1.38368241) × R
    1.78299999999965e-05 × 6371000     		dr = 113.594929999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54858988--0.54849401) × cos(1.38370024) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.186006447622772 × 6371000     		do = 113.610463349132m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54858988--0.54849401) × cos(1.38368241) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.186023966433383 × 6371000     		du = 113.621163624398m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38370024)-sin(1.38368241))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186006447622772-0.186023966433383)×R²
    abs(-0.54849401--0.54858988)×1.75188106102675e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.75188106102675e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.75188106102675e-05×40589641000000     		ar = 12906.1803802467m²