Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27046 / 6643
↖ ↑ ↗
← N 80.658633°
W 31.431885°		 ← 99.14 m → N 80.658633°
W 31.426392°		 →
↑
99.20 m
↓
↑
99.20 m
↓
N 80.657741°
W 31.431885°		 ← 99.15 m →
9 835 m²		 N 80.657741°
W 31.426392°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27046 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6643 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412696838378906 y=0.101371765136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412696838378906 × 216)
    floor (0.412696838378906 × 65536)
    floor (27046.5)     		tx = 27046
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.101371765136719 × 216)
    floor (0.101371765136719 × 65536)
    floor (6643.5)     		ty = 6643
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27046 / 6643 ti = "16/27046/6643"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27046/6643.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27046 ÷ 216
    27046 ÷ 65536     		x = 0.412689208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6643 ÷ 216
    6643 ÷ 65536     		y = 0.101364135742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412689208984375 × 2 - 1) × π
    -0.17462158203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.54858988
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.101364135742188 × 2 - 1) × π
    0.797271728515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.50470300514793
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54858988} λ = -0.54858988}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.50470300514793))-π/2
    2×atan(12.2399232317411)-π/2
    2×1.48927752198137-π/2
    2.97855504396273-1.57079632675     		φ = 1.40775872
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54858988} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.431885°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40775872 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.658633°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27046 KachelY 6643 -0.54858988 1.40775872 -31.431885 80.658633
    Oben rechts KachelX + 1 27047 KachelY 6643 -0.54849401 1.40775872 -31.426392 80.658633
    Unten links KachelX 27046 KachelY + 1 6644 -0.54858988 1.40774315 -31.431885 80.657741
    Unten rechts KachelX + 1 27047 KachelY + 1 6644 -0.54849401 1.40774315 -31.426392 80.657741
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40775872-1.40774315) × R
    1.55699999999648e-05 × 6371000     		dl = 99.1964699997756m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40775872-1.40774315) × R
    1.55699999999648e-05 × 6371000     		dr = 99.1964699997756m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54858988--0.54849401) × cos(1.40775872) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.162316275288277 × 6371000     		do = 99.1407958180306m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54858988--0.54849401) × cos(1.40774315) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.16233163879146 × 6371000     		du = 99.1501796578791m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40775872)-sin(1.40774315))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.162316275288277-0.16233163879146)×R²
    abs(-0.54849401--0.54858988)×1.53635031830135e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.53635031830135e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.53635031830135e-05×40589641000000     		ar = 9834.88240032673m²