Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27046 / 6526
↖ ↑ ↗
← N 80.762379°
W 31.431885°		 ← 98.05 m → N 80.762379°
W 31.426392°		 →
↑
98.05 m
↓
↑
98.05 m
↓
N 80.761497°
W 31.431885°		 ← 98.06 m →
9 614 m²		 N 80.761497°
W 31.426392°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27046 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6526 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412696838378906 y=0.0995864868164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412696838378906 × 216)
    floor (0.412696838378906 × 65536)
    floor (27046.5)     		tx = 27046
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0995864868164062 × 216)
    floor (0.0995864868164062 × 65536)
    floor (6526.5)     		ty = 6526
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27046 / 6526 ti = "16/27046/6526"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27046/6526.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27046 ÷ 216
    27046 ÷ 65536     		x = 0.412689208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6526 ÷ 216
    6526 ÷ 65536     		y = 0.099578857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412689208984375 × 2 - 1) × π
    -0.17462158203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.54858988
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.099578857421875 × 2 - 1) × π
    0.80084228515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.51592023965903
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54858988} λ = -0.54858988}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51592023965903))-π/2
    2×atan(12.3779942608408)-π/2
    2×1.49018287169495-π/2
    2.98036574338989-1.57079632675     		φ = 1.40956942
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54858988} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.431885°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40956942 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.762379°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27046 KachelY 6526 -0.54858988 1.40956942 -31.431885 80.762379
    Oben rechts KachelX + 1 27047 KachelY 6526 -0.54849401 1.40956942 -31.426392 80.762379
    Unten links KachelX 27046 KachelY + 1 6527 -0.54858988 1.40955403 -31.431885 80.761497
    Unten rechts KachelX + 1 27047 KachelY + 1 6527 -0.54849401 1.40955403 -31.426392 80.761497
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40956942-1.40955403) × R
    1.53899999999485e-05 × 6371000     		dl = 98.0496899996719m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40956942-1.40955403) × R
    1.53899999999485e-05 × 6371000     		dr = 98.0496899996719m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54858988--0.54849401) × cos(1.40956942) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.160529322261592 × 6371000     		do = 98.0493467637671m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54858988--0.54849401) × cos(1.40955403) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.160544512650776 × 6371000     		du = 98.0586248677019m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40956942)-sin(1.40955403))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160529322261592-0.160544512650776)×R²
    abs(-0.54849401--0.54858988)×1.51903891834615e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.51903891834615e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.51903891834615e-05×40589641000000     		ar = 9614.16291279027m²