Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 27046 / 10591
↖ ↑ ↗
← N 53.546836°
E117.136230°		 ← 725.86 m → N 53.546836°
E117.147217°		 →
↑
725.91 m
↓
↑
725.91 m
↓
N 53.540308°
E117.136230°		 ← 725.97 m →
526 948 m²		 N 53.540308°
E117.147217°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27046 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10591 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.825393676757812 y=0.323226928710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.825393676757812 × 215)
    floor (0.825393676757812 × 32768)
    floor (27046.5)     		tx = 27046
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323226928710938 × 215)
    floor (0.323226928710938 × 32768)
    floor (10591.5)     		ty = 10591
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 27046 / 10591 ti = "15/27046/10591"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/27046/10591.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27046 ÷ 215
    27046 ÷ 32768     		x = 0.82537841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10591 ÷ 215
    10591 ÷ 32768     		y = 0.323211669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82537841796875 × 2 - 1) × π
    0.6507568359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.04441289
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.323211669921875 × 2 - 1) × π
    0.35357666015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.11079383799594
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04441289} λ = 2.04441289}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11079383799594))-π/2
    2×atan(3.03676813976964)-π/2
    2×1.25268245593939-π/2
    2.50536491187878-1.57079632675     		φ = 0.93456859
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04441289} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.136230°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93456859 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.546836°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27046 KachelY 10591 2.04441289 0.93456859 117.136230 53.546836
    Oben rechts KachelX + 1 27047 KachelY 10591 2.04460464 0.93456859 117.147217 53.546836
    Unten links KachelX 27046 KachelY + 1 10592 2.04441289 0.93445465 117.136230 53.540308
    Unten rechts KachelX + 1 27047 KachelY + 1 10592 2.04460464 0.93445465 117.147217 53.540308
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93456859-0.93445465) × R
    0.000113939999999979 × 6371000     		dl = 725.911739999867m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93456859-0.93445465) × R
    0.000113939999999979 × 6371000     		dr = 725.911739999867m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04441289-2.04460464) × cos(0.93456859) × R
    0.000191750000000379 × 0.59416548319245 × 6371000     		do = 725.855875264547m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04441289-2.04460464) × cos(0.93445465) × R
    0.000191750000000379 × 0.594257126156798 × 6371000     		du = 725.967829906782m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93456859)-sin(0.93445465))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.59416548319245-0.594257126156798)×R²
    abs(2.04460464-2.04441289)×9.16429643483818e-05×R²
    0.000191750000000379×9.16429643483818e-05×6371000²
    0.000191750000000379×9.16429643483818e-05×40589641000000     		ar = 526947.936567478m²