Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27045 / 6748
↖ ↑ ↗
← N 80.564546°
W 31.437378°		 ← 100.13 m → N 80.564546°
W 31.431885°		 →
↑
100.15 m
↓
↑
100.15 m
↓
N 80.563645°
W 31.437378°		 ← 100.14 m →
10 029 m²		 N 80.563645°
W 31.431885°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27045 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6748 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412681579589844 y=0.102973937988281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412681579589844 × 216)
    floor (0.412681579589844 × 65536)
    floor (27045.5)     		tx = 27045
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.102973937988281 × 216)
    floor (0.102973937988281 × 65536)
    floor (6748.5)     		ty = 6748
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27045 / 6748 ti = "16/27045/6748"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27045/6748.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27045 ÷ 216
    27045 ÷ 65536     		x = 0.412673950195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6748 ÷ 216
    6748 ÷ 65536     		y = 0.10296630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412673950195312 × 2 - 1) × π
    -0.174652099609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.54868575
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10296630859375 × 2 - 1) × π
    0.7940673828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.49463625622772
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54868575} λ = -0.54868575}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.49463625622772))-π/2
    2×atan(12.1173251153261)-π/2
    2×1.48845645254564-π/2
    2.97691290509129-1.57079632675     		φ = 1.40611658
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54868575} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.437378°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40611658 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.564546°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27045 KachelY 6748 -0.54868575 1.40611658 -31.437378 80.564546
    Oben rechts KachelX + 1 27046 KachelY 6748 -0.54858988 1.40611658 -31.431885 80.564546
    Unten links KachelX 27045 KachelY + 1 6749 -0.54868575 1.40610086 -31.437378 80.563645
    Unten rechts KachelX + 1 27046 KachelY + 1 6749 -0.54858988 1.40610086 -31.431885 80.563645
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40611658-1.40610086) × R
    1.57199999999413e-05 × 6371000     		dl = 100.152119999626m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40611658-1.40610086) × R
    1.57199999999413e-05 × 6371000     		dr = 100.152119999626m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54868575--0.54858988) × cos(1.40611658) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.163936418932975 × 6371000     		do = 100.130359741856m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54868575--0.54858988) × cos(1.40610086) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.163951926235378 × 6371000     		du = 100.139831412509m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40611658)-sin(1.40610086))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.163936418932975-0.163951926235378)×R²
    abs(-0.54858988--0.54868575)×1.55073024030172e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.55073024030172e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.55073024030172e-05×40589641000000     		ar = 10028.7421085629m²