Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 27045 / 10590
↖ ↑ ↗
← N 53.553363°
E117.125244°		 ← 725.71 m → N 53.553363°
E117.136230°		 →
↑
725.78 m
↓
↑
725.78 m
↓
N 53.546836°
E117.125244°		 ← 725.82 m →
526 747 m²		 N 53.546836°
E117.136230°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27045 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10590 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.825363159179688 y=0.323196411132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.825363159179688 × 215)
    floor (0.825363159179688 × 32768)
    floor (27045.5)     		tx = 27045
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323196411132812 × 215)
    floor (0.323196411132812 × 32768)
    floor (10590.5)     		ty = 10590
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 27045 / 10590 ti = "15/27045/10590"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/27045/10590.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27045 ÷ 215
    27045 ÷ 32768     		x = 0.825347900390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10590 ÷ 215
    10590 ÷ 32768     		y = 0.32318115234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.825347900390625 × 2 - 1) × π
    0.65069580078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.04422115
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32318115234375 × 2 - 1) × π
    0.3536376953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.11098558559442
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04422115} λ = 2.04422115}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11098558559442))-π/2
    2×atan(3.03735048859779)-π/2
    2×1.25273941644925-π/2
    2.5054788328985-1.57079632675     		φ = 0.93468251
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04422115} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.125244°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93468251 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.553363°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27045 KachelY 10590 2.04422115 0.93468251 117.125244 53.553363
    Oben rechts KachelX + 1 27046 KachelY 10590 2.04441289 0.93468251 117.136230 53.553363
    Unten links KachelX 27045 KachelY + 1 10591 2.04422115 0.93456859 117.125244 53.546836
    Unten rechts KachelX + 1 27046 KachelY + 1 10591 2.04441289 0.93456859 117.136230 53.546836
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93468251-0.93456859) × R
    0.00011391999999999 × 6371000     		dl = 725.784319999934m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93468251-0.93456859) × R
    0.00011391999999999 × 6371000     		dr = 725.784319999934m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04422115-2.04441289) × cos(0.93468251) × R
    0.000191739999999996 × 0.594073848602663 × 6371000     		do = 725.706082406661m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04422115-2.04441289) × cos(0.93456859) × R
    0.000191739999999996 × 0.59416548319245 × 6371000     		du = 725.818020980162m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93468251)-sin(0.93456859))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.594073848602663-0.59416548319245)×R²
    abs(2.04441289-2.04422115)×9.16345897866711e-05×R²
    0.000191739999999996×9.16345897866711e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.16345897866711e-05×40589641000000     		ar = 526746.717739875m²