Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27044 / 8085
↖ ↑ ↗
← N 79.281206°
W 31.442871°		 ← 113.61 m → N 79.281206°
W 31.437378°		 →
↑
113.66 m
↓
↑
113.66 m
↓
N 79.280184°
W 31.442871°		 ← 113.62 m →
12 914 m²		 N 79.280184°
W 31.437378°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27044 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8085 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412666320800781 y=0.123374938964844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412666320800781 × 216)
    floor (0.412666320800781 × 65536)
    floor (27044.5)     		tx = 27044
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123374938964844 × 216)
    floor (0.123374938964844 × 65536)
    floor (8085.5)     		ty = 8085
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27044 / 8085 ti = "16/27044/8085"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27044/8085.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27044 ÷ 216
    27044 ÷ 65536     		x = 0.41265869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8085 ÷ 216
    8085 ÷ 65536     		y = 0.123367309570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41265869140625 × 2 - 1) × π
    -0.1746826171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.54878163
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.123367309570312 × 2 - 1) × π
    0.753265380859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.36645298664369
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54878163} λ = -0.54878163}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36645298664369))-π/2
    2×atan(10.6595157048792)-π/2
    2×1.47725720153684-π/2
    2.95451440307368-1.57079632675     		φ = 1.38371808
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54878163} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.442871°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38371808 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.281206°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27044 KachelY 8085 -0.54878163 1.38371808 -31.442871 79.281206
    Oben rechts KachelX + 1 27045 KachelY 8085 -0.54868575 1.38371808 -31.437378 79.281206
    Unten links KachelX 27044 KachelY + 1 8086 -0.54878163 1.38370024 -31.442871 79.280184
    Unten rechts KachelX + 1 27045 KachelY + 1 8086 -0.54868575 1.38370024 -31.437378 79.280184
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38371808-1.38370024) × R
    1.78399999999357e-05 × 6371000     		dl = 113.65863999959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38371808-1.38370024) × R
    1.78399999999357e-05 × 6371000     		dr = 113.65863999959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54878163--0.54868575) × cos(1.38371808) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.185988918927511 × 6371000     		do = 113.611606390527m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54878163--0.54868575) × cos(1.38370024) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.186006447622772 × 6371000     		du = 113.62231381997m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38371808)-sin(1.38370024))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185988918927511-0.186006447622772)×R²
    abs(-0.54868575--0.54878163)×1.75286952616982e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.75286952616982e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.75286952616982e-05×40589641000000     		ar = 12913.5491668595m²