Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27043 / 8076
↖ ↑ ↗
← N 79.290397°
W 31.448364°		 ← 113.50 m → N 79.290397°
W 31.442871°		 →
↑
113.53 m
↓
↑
113.53 m
↓
N 79.289376°
W 31.448364°		 ← 113.51 m →
12 887 m²		 N 79.289376°
W 31.442871°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27043 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8076 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412651062011719 y=0.123237609863281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412651062011719 × 216)
    floor (0.412651062011719 × 65536)
    floor (27043.5)     		tx = 27043
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123237609863281 × 216)
    floor (0.123237609863281 × 65536)
    floor (8076.5)     		ty = 8076
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27043 / 8076 ti = "16/27043/8076"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27043/8076.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27043 ÷ 216
    27043 ÷ 65536     		x = 0.412643432617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8076 ÷ 216
    8076 ÷ 65536     		y = 0.12322998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412643432617188 × 2 - 1) × π
    -0.174713134765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.54887750
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12322998046875 × 2 - 1) × π
    0.7535400390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.36731585083685
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54887750} λ = -0.54887750}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36731585083685))-π/2
    2×atan(10.6687173886282)-π/2
    2×1.47733740912215-π/2
    2.95467481824431-1.57079632675     		φ = 1.38387849
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54887750} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.448364°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38387849 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.290397°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27043 KachelY 8076 -0.54887750 1.38387849 -31.448364 79.290397
    Oben rechts KachelX + 1 27044 KachelY 8076 -0.54878163 1.38387849 -31.442871 79.290397
    Unten links KachelX 27043 KachelY + 1 8077 -0.54887750 1.38386067 -31.448364 79.289376
    Unten rechts KachelX + 1 27044 KachelY + 1 8077 -0.54878163 1.38386067 -31.442871 79.289376
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38387849-1.38386067) × R
    1.78200000000572e-05 × 6371000     		dl = 113.531220000365m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38387849-1.38386067) × R
    1.78200000000572e-05 × 6371000     		dr = 113.531220000365m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54887750--0.54878163) × cos(1.38387849) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.185831305394351 × 6371000     		do = 113.503488618002m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54887750--0.54878163) × cos(1.38386067) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.185848814970093 × 6371000     		du = 113.514183252723m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38387849)-sin(1.38386067))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185831305394351-0.185848814970093)×R²
    abs(-0.54878163--0.54887750)×1.75095757415367e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.75095757415367e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.75095757415367e-05×40589641000000     		ar = 12886.79662493m²