Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 27043 / 25071
↖ ↑ ↗
← S 68.588476°
E117.103271°		 ← 445.98 m → S 68.588476°
E117.114258°		 →
↑
445.91 m
↓
↑
445.91 m
↓
S 68.592486°
E117.103271°		 ← 445.90 m →
198 846 m²		 S 68.592486°
E117.114258°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27043 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25071 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.825302124023438 y=0.765121459960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.825302124023438 × 215)
    floor (0.825302124023438 × 32768)
    floor (27043.5)     		tx = 27043
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.765121459960938 × 215)
    floor (0.765121459960938 × 32768)
    floor (25071.5)     		ty = 25071
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 27043 / 25071 ti = "15/27043/25071"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/27043/25071.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27043 ÷ 215
    27043 ÷ 32768     		x = 0.825286865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25071 ÷ 215
    25071 ÷ 32768     		y = 0.765106201171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.825286865234375 × 2 - 1) × π
    0.65057373046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.04383765
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.765106201171875 × 2 - 1) × π
    -0.53021240234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.66571138799771
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04383765} λ = 2.04383765}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66571138799771))-π/2
    2×atan(0.189056117879396)-π/2
    2×0.186850793861018-π/2
    0.373701587722036-1.57079632675     		φ = -1.19709474
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04383765} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.103271°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19709474 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.588476°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27043 KachelY 25071 2.04383765 -1.19709474 117.103271 -68.588476
    Oben rechts KachelX + 1 27044 KachelY 25071 2.04402940 -1.19709474 117.114258 -68.588476
    Unten links KachelX 27043 KachelY + 1 25072 2.04383765 -1.19716473 117.103271 -68.592486
    Unten rechts KachelX + 1 27044 KachelY + 1 25072 2.04402940 -1.19716473 117.114258 -68.592486
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19709474--1.19716473) × R
    6.99899999998532e-05 × 6371000     		dl = 445.906289999065m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19709474--1.19716473) × R
    6.99899999998532e-05 × 6371000     		dr = 445.906289999065m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04383765-2.04402940) × cos(-1.19709474) × R
    0.000191749999999935 × 0.365064037296636 × 6371000     		do = 445.976556724884m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04383765-2.04402940) × cos(-1.19716473) × R
    0.000191749999999935 × 0.364998876943627 × 6371000     		du = 445.896954280104m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19709474)-sin(-1.19716473))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.365064037296636-0.364998876943627)×R²
    abs(2.04402940-2.04383765)×6.51603530093525e-05×R²
    0.000191749999999935×6.51603530093525e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.51603530093525e-05×40589641000000     		ar = 198846.004301653m²