Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27042 / 8075
↖ ↑ ↗
← N 79.291418°
W 31.453857°		 ← 113.49 m → N 79.291418°
W 31.448364°		 →
↑
113.53 m
↓
↑
113.53 m
↓
N 79.290397°
W 31.453857°		 ← 113.50 m →
12 886 m²		 N 79.290397°
W 31.448364°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27042 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8075 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412635803222656 y=0.123222351074219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412635803222656 × 216)
    floor (0.412635803222656 × 65536)
    floor (27042.5)     		tx = 27042
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123222351074219 × 216)
    floor (0.123222351074219 × 65536)
    floor (8075.5)     		ty = 8075
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27042 / 8075 ti = "16/27042/8075"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27042/8075.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27042 ÷ 216
    27042 ÷ 65536     		x = 0.412628173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8075 ÷ 216
    8075 ÷ 65536     		y = 0.123214721679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412628173828125 × 2 - 1) × π
    -0.17474365234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.54897337
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.123214721679688 × 2 - 1) × π
    0.753570556640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.36741172463609
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54897337} λ = -0.54897337}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36741172463609))-π/2
    2×atan(10.6697402881311)-π/2
    2×1.47734631687914-π/2
    2.95469263375828-1.57079632675     		φ = 1.38389631
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54897337} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.453857°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38389631 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.291418°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27042 KachelY 8075 -0.54897337 1.38389631 -31.453857 79.291418
    Oben rechts KachelX + 1 27043 KachelY 8075 -0.54887750 1.38389631 -31.448364 79.291418
    Unten links KachelX 27042 KachelY + 1 8076 -0.54897337 1.38387849 -31.453857 79.290397
    Unten rechts KachelX + 1 27043 KachelY + 1 8076 -0.54887750 1.38387849 -31.448364 79.290397
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38389631-1.38387849) × R
    1.78199999998352e-05 × 6371000     		dl = 113.53121999895m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38389631-1.38387849) × R
    1.78199999998352e-05 × 6371000     		dr = 113.53121999895m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54897337--0.54887750) × cos(1.38389631) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.185813795759599 × 6371000     		do = 113.492793947238m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54897337--0.54887750) × cos(1.38387849) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.185831305394351 × 6371000     		du = 113.503488618002m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38389631)-sin(1.38387849))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185813795759599-0.185831305394351)×R²
    abs(-0.54887750--0.54897337)×1.75096347525272e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.75096347525272e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.75096347525272e-05×40589641000000     		ar = 12885.5824474423m²