Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27042 / 7263
↖ ↑ ↗
← N 80.089298°
W 31.453857°		 ← 105.12 m → N 80.089298°
W 31.448364°		 →
↑
105.12 m
↓
↑
105.12 m
↓
N 80.088352°
W 31.453857°		 ← 105.13 m →
11 051 m²		 N 80.088352°
W 31.448364°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27042 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7263 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412635803222656 y=0.110832214355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412635803222656 × 216)
    floor (0.412635803222656 × 65536)
    floor (27042.5)     		tx = 27042
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.110832214355469 × 216)
    floor (0.110832214355469 × 65536)
    floor (7263.5)     		ty = 7263
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27042 / 7263 ti = "16/27042/7263"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27042/7263.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27042 ÷ 216
    27042 ÷ 65536     		x = 0.412628173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7263 ÷ 216
    7263 ÷ 65536     		y = 0.110824584960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412628173828125 × 2 - 1) × π
    -0.17474365234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.54897337
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.110824584960938 × 2 - 1) × π
    0.778350830078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.44526124961906
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54897337} λ = -0.54897337}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44526124961906))-π/2
    2×atan(11.5335623440513)-π/2
    2×1.48430913565135-π/2
    2.96861827130269-1.57079632675     		φ = 1.39782194
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54897337} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.453857°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39782194 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.089298°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27042 KachelY 7263 -0.54897337 1.39782194 -31.453857 80.089298
    Oben rechts KachelX + 1 27043 KachelY 7263 -0.54887750 1.39782194 -31.448364 80.089298
    Unten links KachelX 27042 KachelY + 1 7264 -0.54897337 1.39780544 -31.453857 80.088352
    Unten rechts KachelX + 1 27043 KachelY + 1 7264 -0.54887750 1.39780544 -31.448364 80.088352
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39782194-1.39780544) × R
    1.65000000000859e-05 × 6371000     		dl = 105.121500000547m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39782194-1.39780544) × R
    1.65000000000859e-05 × 6371000     		dr = 105.121500000547m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54897337--0.54887750) × cos(1.39782194) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.172113106684837 × 6371000     		do = 105.124580619801m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54897337--0.54887750) × cos(1.39780544) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.172129360435112 × 6371000     		du = 105.134508211686m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39782194)-sin(1.39780544))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.172113106684837-0.172129360435112)×R²
    abs(-0.54887750--0.54897337)×1.62537502745586e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.62537502745586e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.62537502745586e-05×40589641000000     		ar = 11051.3754034433m²