Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27039 / 7261
↖ ↑ ↗
← N 80.091188°
W 31.470337°		 ← 105.12 m → N 80.091188°
W 31.464844°		 →
↑
105.12 m
↓
↑
105.12 m
↓
N 80.090243°
W 31.470337°		 ← 105.13 m →
11 050 m²		 N 80.090243°
W 31.464844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27039 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7261 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412590026855469 y=0.110801696777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412590026855469 × 216)
    floor (0.412590026855469 × 65536)
    floor (27039.5)     		tx = 27039
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.110801696777344 × 216)
    floor (0.110801696777344 × 65536)
    floor (7261.5)     		ty = 7261
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27039 / 7261 ti = "16/27039/7261"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27039/7261.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27039 ÷ 216
    27039 ÷ 65536     		x = 0.412582397460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7261 ÷ 216
    7261 ÷ 65536     		y = 0.110794067382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412582397460938 × 2 - 1) × π
    -0.174835205078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.54926100
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.110794067382812 × 2 - 1) × π
    0.778411865234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.44545299721754
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54926100} λ = -0.54926100}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44545299721754))-π/2
    2×atan(11.5357740889743)-π/2
    2×1.48432563523003-π/2
    2.96865127046007-1.57079632675     		φ = 1.39785494
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54926100} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.470337°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39785494 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.091188°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27039 KachelY 7261 -0.54926100 1.39785494 -31.470337 80.091188
    Oben rechts KachelX + 1 27040 KachelY 7261 -0.54916512 1.39785494 -31.464844 80.091188
    Unten links KachelX 27039 KachelY + 1 7262 -0.54926100 1.39783844 -31.470337 80.090243
    Unten rechts KachelX + 1 27040 KachelY + 1 7262 -0.54916512 1.39783844 -31.464844 80.090243
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39785494-1.39783844) × R
    1.65000000000859e-05 × 6371000     		dl = 105.121500000547m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39785494-1.39783844) × R
    1.65000000000859e-05 × 6371000     		dr = 105.121500000547m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54926100--0.54916512) × cos(1.39785494) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.172080599043719 × 6371000     		do = 105.115688605195m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54926100--0.54916512) × cos(1.39783844) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.172096852887705 × 6371000     		du = 105.12561728985m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39785494)-sin(1.39783844))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.172080599043719-0.172096852887705)×R²
    abs(-0.54916512--0.54926100)×1.62538439856807e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.62538439856807e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.62538439856807e-05×40589641000000     		ar = 11050.4407190749m²