Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27039 / 6314
↖ ↑ ↗
← N 80.947460°
W 31.470337°		 ← 96.11 m → N 80.947460°
W 31.464844°		 →
↑
96.14 m
↓
↑
96.14 m
↓
N 80.946596°
W 31.470337°		 ← 96.12 m →
9 240 m²		 N 80.946596°
W 31.464844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27039 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6314 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412590026855469 y=0.0963516235351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412590026855469 × 216)
    floor (0.412590026855469 × 65536)
    floor (27039.5)     		tx = 27039
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0963516235351562 × 216)
    floor (0.0963516235351562 × 65536)
    floor (6314.5)     		ty = 6314
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27039 / 6314 ti = "16/27039/6314"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27039/6314.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27039 ÷ 216
    27039 ÷ 65536     		x = 0.412582397460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6314 ÷ 216
    6314 ÷ 65536     		y = 0.096343994140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412582397460938 × 2 - 1) × π
    -0.174835205078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.54926100
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.096343994140625 × 2 - 1) × π
    0.80731201171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.53624548509793
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54926100} λ = -0.54926100}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53624548509793))-π/2
    2×atan(12.6321542142238)-π/2
    2×1.49179801245182-π/2
    2.98359602490364-1.57079632675     		φ = 1.41279970
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54926100} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.470337°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41279970 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.947460°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27039 KachelY 6314 -0.54926100 1.41279970 -31.470337 80.947460
    Oben rechts KachelX + 1 27040 KachelY 6314 -0.54916512 1.41279970 -31.464844 80.947460
    Unten links KachelX 27039 KachelY + 1 6315 -0.54926100 1.41278461 -31.470337 80.946596
    Unten rechts KachelX + 1 27040 KachelY + 1 6315 -0.54916512 1.41278461 -31.464844 80.946596
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41279970-1.41278461) × R
    1.50899999999954e-05 × 6371000     		dl = 96.1383899999706m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41279970-1.41278461) × R
    1.50899999999954e-05 × 6371000     		dr = 96.1383899999706m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54926100--0.54916512) × cos(1.41279970) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.15734010353832 × 6371000     		do = 96.1114351097841m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54926100--0.54916512) × cos(1.41278461) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.157355005566546 × 6371000     		du = 96.1205380357813m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41279970)-sin(1.41278461))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15734010353832-0.157355005566546)×R²
    abs(-0.54916512--0.54926100)×1.49020282264878e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.49020282264878e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.49020282264878e-05×40589641000000     		ar = 9240.43620221821m²