Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27038 / 6154
↖ ↑ ↗
← N 81.084705°
W 31.475830°		 ← 94.66 m → N 81.084705°
W 31.470337°		 →
↑
94.67 m
↓
↑
94.67 m
↓
N 81.083853°
W 31.475830°		 ← 94.67 m →
8 962 m²		 N 81.083853°
W 31.470337°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27038 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6154 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412574768066406 y=0.0939102172851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412574768066406 × 216)
    floor (0.412574768066406 × 65536)
    floor (27038.5)     		tx = 27038
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0939102172851562 × 216)
    floor (0.0939102172851562 × 65536)
    floor (6154.5)     		ty = 6154
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27038 / 6154 ti = "16/27038/6154"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27038/6154.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27038 ÷ 216
    27038 ÷ 65536     		x = 0.412567138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6154 ÷ 216
    6154 ÷ 65536     		y = 0.093902587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412567138671875 × 2 - 1) × π
    -0.17486572265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.54935687
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.093902587890625 × 2 - 1) × π
    0.81219482421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.55158529297635
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54935687} λ = -0.54935687}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55158529297635))-π/2
    2×atan(12.8274228959554)-π/2
    2×1.49299570015221-π/2
    2.98599140030442-1.57079632675     		φ = 1.41519507
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54935687} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.475830°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41519507 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.084705°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27038 KachelY 6154 -0.54935687 1.41519507 -31.475830 81.084705
    Oben rechts KachelX + 1 27039 KachelY 6154 -0.54926100 1.41519507 -31.470337 81.084705
    Unten links KachelX 27038 KachelY + 1 6155 -0.54935687 1.41518021 -31.475830 81.083853
    Unten rechts KachelX + 1 27039 KachelY + 1 6155 -0.54926100 1.41518021 -31.470337 81.083853
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41519507-1.41518021) × R
    1.48600000000609e-05 × 6371000     		dl = 94.6730600003882m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41519507-1.41518021) × R
    1.48600000000609e-05 × 6371000     		dr = 94.6730600003882m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54935687--0.54926100) × cos(1.41519507) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.154974119996712 × 6371000     		do = 94.6562971605019m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54935687--0.54926100) × cos(1.41518021) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.154988800448958 × 6371000     		du = 94.665263801192m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41519507)-sin(1.41518021))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154974119996712-0.154988800448958)×R²
    abs(-0.54926100--0.54935687)×1.46804522462574e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.46804522462574e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.46804522462574e-05×40589641000000     		ar = 8961.82575000449m²