Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 27038 / 11955
↖ ↑ ↗
← N 43.683763°
E117.048340°		 ← 883.44 m → N 43.683763°
E117.059326°		 →
↑
883.47 m
↓
↑
883.47 m
↓
N 43.675818°
E117.048340°		 ← 883.56 m →
780 545 m²		 N 43.675818°
E117.059326°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27038 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11955 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.825149536132812 y=0.364852905273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.825149536132812 × 215)
    floor (0.825149536132812 × 32768)
    floor (27038.5)     		tx = 27038
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.364852905273438 × 215)
    floor (0.364852905273438 × 32768)
    floor (11955.5)     		ty = 11955
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 27038 / 11955 ti = "15/27038/11955"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/27038/11955.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27038 ÷ 215
    27038 ÷ 32768     		x = 0.82513427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11955 ÷ 215
    11955 ÷ 32768     		y = 0.364837646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82513427734375 × 2 - 1) × π
    0.6502685546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.04287891
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.364837646484375 × 2 - 1) × π
    0.27032470703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.849250113668915
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04287891} λ = 2.04287891}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.849250113668915))-π/2
    2×atan(2.337893040394)-π/2
    2×1.16661091496926-π/2
    2.33322182993851-1.57079632675     		φ = 0.76242550
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04287891} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.048340°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76242550 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.683763°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27038 KachelY 11955 2.04287891 0.76242550 117.048340 43.683763
    Oben rechts KachelX + 1 27039 KachelY 11955 2.04307066 0.76242550 117.059326 43.683763
    Unten links KachelX 27038 KachelY + 1 11956 2.04287891 0.76228683 117.048340 43.675818
    Unten rechts KachelX + 1 27039 KachelY + 1 11956 2.04307066 0.76228683 117.059326 43.675818
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76242550-0.76228683) × R
    0.000138670000000007 × 6371000     		dl = 883.466570000047m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76242550-0.76228683) × R
    0.000138670000000007 × 6371000     		dr = 883.466570000047m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04287891-2.04307066) × cos(0.76242550) × R
    0.000191749999999935 × 0.723162901291906 × 6371000     		do = 883.444184361769m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04287891-2.04307066) × cos(0.76228683) × R
    0.000191749999999935 × 0.723258670588463 × 6371000     		du = 883.561179893388m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76242550)-sin(0.76228683))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.723162901291906-0.723258670588463)×R²
    abs(2.04307066-2.04287891)×9.57692965574131e-05×R²
    0.000191749999999935×9.57692965574131e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.57692965574131e-05×40589641000000     		ar = 780545.085415911m²