Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27036 / 9304
↖ ↑ ↗
← N 77.961583°
W 31.486817°		 ← 127.40 m → N 77.961583°
W 31.481323°		 →
↑
127.42 m
↓
↑
127.42 m
↓
N 77.960437°
W 31.486817°		 ← 127.42 m →
16 235 m²		 N 77.960437°
W 31.481323°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27036 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9304 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412544250488281 y=0.141975402832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412544250488281 × 216)
    floor (0.412544250488281 × 65536)
    floor (27036.5)     		tx = 27036
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141975402832031 × 216)
    floor (0.141975402832031 × 65536)
    floor (9304.5)     		ty = 9304
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27036 / 9304 ti = "16/27036/9304"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27036/9304.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27036 ÷ 216
    27036 ÷ 65536     		x = 0.41253662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9304 ÷ 216
    9304 ÷ 65536     		y = 0.1419677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41253662109375 × 2 - 1) × π
    -0.1749267578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.54954862
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1419677734375 × 2 - 1) × π
    0.716064453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.24958282537
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54954862} λ = -0.54954862}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24958282537))-π/2
    2×atan(9.48377861915411)-π/2
    2×1.4657413187857-π/2
    2.9314826375714-1.57079632675     		φ = 1.36068631
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54954862} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.486817°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36068631 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.961583°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27036 KachelY 9304 -0.54954862 1.36068631 -31.486817 77.961583
    Oben rechts KachelX + 1 27037 KachelY 9304 -0.54945274 1.36068631 -31.481323 77.961583
    Unten links KachelX 27036 KachelY + 1 9305 -0.54954862 1.36066631 -31.486817 77.960437
    Unten rechts KachelX + 1 27037 KachelY + 1 9305 -0.54945274 1.36066631 -31.481323 77.960437
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36068631-1.36066631) × R
    1.9999999999909e-05 × 6371000     		dl = 127.41999999942m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36068631-1.36066631) × R
    1.9999999999909e-05 × 6371000     		dr = 127.41999999942m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54954862--0.54945274) × cos(1.36068631) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.208567498410863 × 6371000     		do = 127.403765084237m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54954862--0.54945274) × cos(1.36066631) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.208587058528642 × 6371000     		du = 127.415713411132m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36068631)-sin(1.36066631))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.208567498410863-0.208587058528642)×R²
    abs(-0.54945274--0.54954862)×1.95601177793991e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.95601177793991e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.95601177793991e-05×40589641000000     		ar = 16234.54897547m²