Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 27036 / 25027
↖ ↑ ↗
← S 68.411310°
E117.026367°		 ← 449.49 m → S 68.411310°
E117.037354°		 →
↑
449.41 m
↓
↑
449.41 m
↓
S 68.415352°
E117.026367°		 ← 449.41 m →
201 988 m²		 S 68.415352°
E117.037354°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27036 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25027 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.825088500976562 y=0.763778686523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.825088500976562 × 215)
    floor (0.825088500976562 × 32768)
    floor (27036.5)     		tx = 27036
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763778686523438 × 215)
    floor (0.763778686523438 × 32768)
    floor (25027.5)     		ty = 25027
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 27036 / 25027 ti = "15/27036/25027"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/27036/25027.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27036 ÷ 215
    27036 ÷ 32768     		x = 0.8250732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25027 ÷ 215
    25027 ÷ 32768     		y = 0.763763427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8250732421875 × 2 - 1) × π
    0.650146484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.04249542
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763763427734375 × 2 - 1) × π
    -0.52752685546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.65727449366458
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04249542} λ = 2.04249542}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65727449366458))-π/2
    2×atan(0.190657911951184)-π/2
    2×0.188396858681031-π/2
    0.376793717362062-1.57079632675     		φ = -1.19400261
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04249542} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.026367°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19400261 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.411310°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27036 KachelY 25027 2.04249542 -1.19400261 117.026367 -68.411310
    Oben rechts KachelX + 1 27037 KachelY 25027 2.04268717 -1.19400261 117.037354 -68.411310
    Unten links KachelX 27036 KachelY + 1 25028 2.04249542 -1.19407315 117.026367 -68.415352
    Unten rechts KachelX + 1 27037 KachelY + 1 25028 2.04268717 -1.19407315 117.037354 -68.415352
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19400261--1.19407315) × R
    7.05399999998413e-05 × 6371000     		dl = 449.410339998989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19400261--1.19407315) × R
    7.05399999998413e-05 × 6371000     		dr = 449.410339998989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04249542-2.04268717) × cos(-1.19400261) × R
    0.000191750000000379 × 0.367941006114125 × 6371000     		do = 449.491174754393m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04249542-2.04268717) × cos(-1.19407315) × R
    0.000191750000000379 × 0.367875413640697 × 6371000     		du = 449.41104441435m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19400261)-sin(-1.19407315))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.367941006114125-0.367875413640697)×R²
    abs(2.04268717-2.04249542)×6.55924734275226e-05×R²
    0.000191750000000379×6.55924734275226e-05×6371000²
    0.000191750000000379×6.55924734275226e-05×40589641000000     		ar = 201987.976055051m²