Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27032 / 6184
↖ ↑ ↗
← N 81.059130°
W 31.508789°		 ← 94.93 m → N 81.059130°
W 31.503296°		 →
↑
94.93 m
↓
↑
94.93 m
↓
N 81.058276°
W 31.508789°		 ← 94.93 m →
9 012 m²		 N 81.058276°
W 31.503296°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27032 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6184 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412483215332031 y=0.0943679809570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412483215332031 × 216)
    floor (0.412483215332031 × 65536)
    floor (27032.5)     		tx = 27032
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0943679809570312 × 216)
    floor (0.0943679809570312 × 65536)
    floor (6184.5)     		ty = 6184
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27032 / 6184 ti = "16/27032/6184"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27032/6184.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27032 ÷ 216
    27032 ÷ 65536     		x = 0.4124755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6184 ÷ 216
    6184 ÷ 65536     		y = 0.0943603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4124755859375 × 2 - 1) × π
    -0.175048828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.54993211
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0943603515625 × 2 - 1) × π
    0.811279296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.54870907899915
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54993211} λ = -0.54993211}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54870907899915))-π/2
    2×atan(12.7905814902115)-π/2
    2×1.49277251386171-π/2
    2.98554502772342-1.57079632675     		φ = 1.41474870
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54993211} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.508789°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41474870 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.059130°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27032 KachelY 6184 -0.54993211 1.41474870 -31.508789 81.059130
    Oben rechts KachelX + 1 27033 KachelY 6184 -0.54983624 1.41474870 -31.503296 81.059130
    Unten links KachelX 27032 KachelY + 1 6185 -0.54993211 1.41473380 -31.508789 81.058276
    Unten rechts KachelX + 1 27033 KachelY + 1 6185 -0.54983624 1.41473380 -31.503296 81.058276
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41474870-1.41473380) × R
    1.49000000000399e-05 × 6371000     		dl = 94.9279000002541m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41474870-1.41473380) × R
    1.49000000000399e-05 × 6371000     		dr = 94.9279000002541m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54993211--0.54983624) × cos(1.41474870) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.155415081737352 × 6371000     		do = 94.9256311987229m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54993211--0.54983624) × cos(1.41473380) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.155429800674013 × 6371000     		du = 94.9346213452226m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41474870)-sin(1.41473380))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155415081737352-0.155429800674013)×R²
    abs(-0.54983624--0.54993211)×1.47189366604683e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.47189366604683e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.47189366604683e-05×40589641000000     		ar = 9011.51753403219m²