Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 27032 / 25033
↖ ↑ ↗
← S 68.435551°
E116.982422°		 ← 449.01 m → S 68.435551°
E116.993408°		 →
↑
448.96 m
↓
↑
448.96 m
↓
S 68.439589°
E116.982422°		 ← 448.93 m →
201 572 m²		 S 68.439589°
E116.993408°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27032 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25033 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.824966430664062 y=0.763961791992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.824966430664062 × 215)
    floor (0.824966430664062 × 32768)
    floor (27032.5)     		tx = 27032
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763961791992188 × 215)
    floor (0.763961791992188 × 32768)
    floor (25033.5)     		ty = 25033
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 27032 / 25033 ti = "15/27032/25033"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/27032/25033.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27032 ÷ 215
    27032 ÷ 32768     		x = 0.824951171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25033 ÷ 215
    25033 ÷ 32768     		y = 0.763946533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.824951171875 × 2 - 1) × π
    0.64990234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.04172843
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763946533203125 × 2 - 1) × π
    -0.52789306640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.65842497925546
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04172843} λ = 2.04172843}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65842497925546))-π/2
    2×atan(0.190438688901357)-π/2
    2×0.188185316445922-π/2
    0.376370632891843-1.57079632675     		φ = -1.19442569
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04172843} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.982422°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19442569 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.435551°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27032 KachelY 25033 2.04172843 -1.19442569 116.982422 -68.435551
    Oben rechts KachelX + 1 27033 KachelY 25033 2.04192018 -1.19442569 116.993408 -68.435551
    Unten links KachelX 27032 KachelY + 1 25034 2.04172843 -1.19449616 116.982422 -68.439589
    Unten rechts KachelX + 1 27033 KachelY + 1 25034 2.04192018 -1.19449616 116.993408 -68.439589
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19442569--1.19449616) × R
    7.04699999998226e-05 × 6371000     		dl = 448.96436999887m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19442569--1.19449616) × R
    7.04699999998226e-05 × 6371000     		dr = 448.96436999887m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04172843-2.04192018) × cos(-1.19442569) × R
    0.000191749999999935 × 0.367547572623224 × 6371000     		do = 449.010540958604m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04172843-2.04192018) × cos(-1.19449616) × R
    0.000191749999999935 × 0.367482034277936 × 6371000     		du = 448.930476743619m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19442569)-sin(-1.19449616))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.367547572623224-0.367482034277936)×R²
    abs(2.04192018-2.04172843)×6.55383452883296e-05×R²
    0.000191749999999935×6.55383452883296e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.55383452883296e-05×40589641000000     		ar = 201571.761737695m²