Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 27032 / 25032
↖ ↑ ↗
← S 68.431513°
E116.982422°		 ← 449.09 m → S 68.431513°
E116.993408°		 →
↑
449.03 m
↓
↑
449.03 m
↓
S 68.435551°
E116.982422°		 ← 449.01 m →
201 636 m²		 S 68.435551°
E116.993408°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27032 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25032 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.824966430664062 y=0.763931274414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.824966430664062 × 215)
    floor (0.824966430664062 × 32768)
    floor (27032.5)     		tx = 27032
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763931274414062 × 215)
    floor (0.763931274414062 × 32768)
    floor (25032.5)     		ty = 25032
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 27032 / 25032 ti = "15/27032/25032"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/27032/25032.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27032 ÷ 215
    27032 ÷ 32768     		x = 0.824951171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25032 ÷ 215
    25032 ÷ 32768     		y = 0.763916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.824951171875 × 2 - 1) × π
    0.64990234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.04172843
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763916015625 × 2 - 1) × π
    -0.52783203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.65823323165698
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04172843} λ = 2.04172843}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65823323165698))-π/2
    2×atan(0.190475208563779)-π/2
    2×0.188220557769865-π/2
    0.37644111553973-1.57079632675     		φ = -1.19435521
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04172843} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.982422°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19435521 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.431513°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27032 KachelY 25032 2.04172843 -1.19435521 116.982422 -68.431513
    Oben rechts KachelX + 1 27033 KachelY 25032 2.04192018 -1.19435521 116.993408 -68.431513
    Unten links KachelX 27032 KachelY + 1 25033 2.04172843 -1.19442569 116.982422 -68.435551
    Unten rechts KachelX + 1 27033 KachelY + 1 25033 2.04192018 -1.19442569 116.993408 -68.435551
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19435521--1.19442569) × R
    7.04800000002059e-05 × 6371000     		dl = 449.028080001312m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19435521--1.19442569) × R
    7.04800000002059e-05 × 6371000     		dr = 449.028080001312m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04172843-2.04192018) × cos(-1.19435521) × R
    0.000191749999999935 × 0.367613118443052 × 6371000     		do = 449.090614304779m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04172843-2.04192018) × cos(-1.19442569) × R
    0.000191749999999935 × 0.367547572623224 × 6371000     		du = 449.010540958604m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19435521)-sin(-1.19442569))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.367613118443052-0.367547572623224)×R²
    abs(2.04192018-2.04172843)×6.5545819827928e-05×R²
    0.000191749999999935×6.5545819827928e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.5545819827928e-05×40589641000000     		ar = 201636.318780726m²