Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2703 / 1457
↖ ↑ ↗
← N 81.357986°
W120.607910°		 ← 367.13 m → N 81.357986°
W120.585937°		 →
↑
367.16 m
↓
↑
367.16 m
↓
N 81.354684°
W120.607910°		 ← 367.27 m →
134 820 m²		 N 81.354684°
W120.585937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2703 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1457 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.165008544921875 y=0.088958740234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.165008544921875 × 214)
    floor (0.165008544921875 × 16384)
    floor (2703.5)     		tx = 2703
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.088958740234375 × 214)
    floor (0.088958740234375 × 16384)
    floor (1457.5)     		ty = 1457
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2703 / 1457 ti = "14/2703/1457"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2703/1457.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2703 ÷ 214
    2703 ÷ 16384     		x = 0.16497802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1457 ÷ 214
    1457 ÷ 16384     		y = 0.08892822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.16497802734375 × 2 - 1) × π
    -0.6700439453125 × 3.1415926535     		Λ = -2.10500514
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.08892822265625 × 2 - 1) × π
    0.8221435546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.58284015152863
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.10500514} λ = -2.10500514}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58284015152863))-π/2
    2×atan(13.234673309301)-π/2
    2×1.49538052997342-π/2
    2.99076105994685-1.57079632675     		φ = 1.41996473
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.10500514} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.607910°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41996473 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.357986°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2703 KachelY 1457 -2.10500514 1.41996473 -120.607910 81.357986
    Oben rechts KachelX + 1 2704 KachelY 1457 -2.10462164 1.41996473 -120.585937 81.357986
    Unten links KachelX 2703 KachelY + 1 1458 -2.10500514 1.41990710 -120.607910 81.354684
    Unten rechts KachelX + 1 2704 KachelY + 1 1458 -2.10462164 1.41990710 -120.585937 81.354684
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41996473-1.41990710) × R
    5.76299999999197e-05 × 6371000     		dl = 367.160729999488m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41996473-1.41990710) × R
    5.76299999999197e-05 × 6371000     		dr = 367.160729999488m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.10500514--2.10462164) × cos(1.41996473) × R
    0.00038349999999987 × 0.150260339565916 × 6371000     		do = 367.127857063978m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.10500514--2.10462164) × cos(1.41990710) × R
    0.00038349999999987 × 0.150317315012069 × 6371000     		du = 367.26706394659m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41996473)-sin(1.41990710))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150260339565916-0.150317315012069)×R²
    abs(-2.10462164--2.10500514)×5.6975446152685e-05×R²
    0.00038349999999987×5.6975446152685e-05×6371000²
    0.00038349999999987×5.6975446152685e-05×40589641000000     		ar = 134820.487689515m²