Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2703 / 1392
↖ ↑ ↗
← N 81.569968°
W120.607910°		 ← 358.19 m → N 81.569968°
W120.585937°		 →
↑
358.31 m
↓
↑
358.31 m
↓
N 81.566746°
W120.607910°		 ← 358.32 m →
128 365 m²		 N 81.566746°
W120.585937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2703 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1392 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.165008544921875 y=0.084991455078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.165008544921875 × 214)
    floor (0.165008544921875 × 16384)
    floor (2703.5)     		tx = 2703
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.084991455078125 × 214)
    floor (0.084991455078125 × 16384)
    floor (1392.5)     		ty = 1392
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2703 / 1392 ti = "14/2703/1392"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2703/1392.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2703 ÷ 214
    2703 ÷ 16384     		x = 0.16497802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1392 ÷ 214
    1392 ÷ 16384     		y = 0.0849609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.16497802734375 × 2 - 1) × π
    -0.6700439453125 × 3.1415926535     		Λ = -2.10500514
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0849609375 × 2 - 1) × π
    0.830078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.60776733933105
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.10500514} λ = -2.10500514}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.60776733933105))-π/2
    2×atan(13.5687226547437)-π/2
    2×1.49723042133873-π/2
    2.99446084267746-1.57079632675     		φ = 1.42366452
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.10500514} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.607910°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42366452 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.569968°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2703 KachelY 1392 -2.10500514 1.42366452 -120.607910 81.569968
    Oben rechts KachelX + 1 2704 KachelY 1392 -2.10462164 1.42366452 -120.585937 81.569968
    Unten links KachelX 2703 KachelY + 1 1393 -2.10500514 1.42360828 -120.607910 81.566746
    Unten rechts KachelX + 1 2704 KachelY + 1 1393 -2.10462164 1.42360828 -120.585937 81.566746
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42366452-1.42360828) × R
    5.62399999999297e-05 × 6371000     		dl = 358.305039999552m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42366452-1.42360828) × R
    5.62399999999297e-05 × 6371000     		dr = 358.305039999552m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.10500514--2.10462164) × cos(1.42366452) × R
    0.00038349999999987 × 0.14660153519646 × 6371000     		do = 358.188379012383m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.10500514--2.10462164) × cos(1.42360828) × R
    0.00038349999999987 × 0.146657167326687 × 6371000     		du = 358.324303800076m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42366452)-sin(1.42360828))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.14660153519646-0.146657167326687)×R²
    abs(-2.10462164--2.10500514)×5.563213022719e-05×R²
    0.00038349999999987×5.563213022719e-05×6371000²
    0.00038349999999987×5.563213022719e-05×40589641000000     		ar = 128365.052771035m²